Matematyka.pl

Witam.

Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu zadania o treści:

Podać dowolną parametryzację regularną krzywej \(\displaystyle{ C}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) będącej wykresem funkcji \(\displaystyle{ \varphi(x)=e^x}\).

EDIT:

To będzie coś takiego?

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=e^t\\x=t\end{cases}}\)

Jasne. I parę zylionów innych (ale wszystkie postaci \(\displaystyle{ x=f(t),\ y=e^{f(t)}}\)

Dziękuję.

Czy zapisane poniżej kroki są prawidłowe w celu wyznaczenia krzywizny tej krzywej?

\(\displaystyle{ t \rightarrow (t, e^t)\\\left| f'(t)\right|=\left| (1,e^t)\right|= \sqrt{1+e^{2t}}\\s=s(t)= \int_{0}^{t}\sqrt{1+e^{2t}} d\sigma=t\cdot \sqrt{1+e^{2t}}\\k(s)=\left| f''(s)\right|}\)

Tylko po czym jest liczona pochodna \(\displaystyle{ f''(s)}\)?

A spróbujesz napisac słowami o co chodzi w tych rachunkach?

Najpierw mamy parametryzację krzywej \(\displaystyle{ \varphi(x)=e^x}\):

\(\displaystyle{ t \rightarrow f(t)=(t, e^t)}\)

Następnie sprawdzenie, czy sparametryzowana krzywa jest regularna (jeżeli w każdej chwili \(\displaystyle{ t}\) wektor prędkości jest niezerowy, czyli prędkość \(\displaystyle{ \left| f'(t)\right| \neq 0}\)). Z obliczeń wyszło \(\displaystyle{ \sqrt{1^2+(e^t)^2}= \sqrt{1+e^{2t}}}\).

Potem wyznaczam parametryzację naturalną \(\displaystyle{ s}\) do wyznaczenia krzywizny \(\displaystyle{ k(s)=\left| f''(s)\right|}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ s}\) jest długością krzywej, to żle ja policzyłeś

Będzie to całka oznaczona po \(\displaystyle{ \mbox{d}t}\)? Wtedy wyjdzie zupełnie coś innego.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} \sqrt{1+e^{2t}} \mbox{d}t}\)

tak. policz to

Nie jestem pewny czy jest to do końca poprawny wynik:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} \sqrt{1+e^{2t}}= \frac{1}{3}e^{-2t} \cdot t^{ \frac{3}{2} }}\)

Czyli mam policzoną długość łuku krzywej. Co dalej?

EDIT:

Liczę \(\displaystyle{ k(s)=\left| f''(s)\right|}\) podstawiając w wyniku całki za \(\displaystyle{ t}\) zmienną \(\displaystyle{ s}\)? Liczę pochodną drugiego rzędu z wyniku całkowania po \(\displaystyle{ \mbox{d}s}\)?