Matematyka.pl

Dla ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right)}\) o dodatniej różnicy \(\displaystyle{ r}\) i pierwszym wyrazie dodatnim udowodnić, że

\(\displaystyle{ \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n} < \frac{2}{3r}\left( a_{n+1}\sqrt{a_{n+1}}-a_1\sqrt{a_1}\right)}\).

Próbowałem pokombinować z indukcją, jednak nic sensownego nie wychodziło. Zatem spróbowałem także oszacować lewą stronę z nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową, a potem ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, tzn:

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n}}{n} \le \sqrt{\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}} = \sqrt{\frac{a_1+a_n}{2n}\cdot n} = \sqrt{\frac{a_1+a_n}{2}}}\).

Następnie próbowałem wykazać nierówność:

\(\displaystyle{ n\sqrt{\frac{a_1+a_n}{2}} < \frac{2}{3r}\left( a_{n+1}\sqrt{a_{n+1}}-a_1\sqrt{a_1}\right)}\)

Tutaj znowu myślałem o indukcji, ale niestety nie chciało iść. Proszę o jakieś wskazówki.

A ja mam trochę inną propozycję:
\(\displaystyle{ \sqrt{a_1} \le \frac{2}{3r} ( \sqrt{a_2}a_2-\sqrt{a_1}a_1)\\\sqrt{a_2} \le \frac{2}{3r} ( \sqrt{a_3}a_3-\sqrt{a_2}a_2)\\ \dots \\ \sqrt{a_n} \le \frac{2}{3r} ( \sqrt{a_{n+1}}a_{n+1}-\sqrt{a_n}a_n)}\)
Dodajesz tych n nierówności stronami i bonwłajaż.

Lemat potrzebny do uzasadnienia tych poszczególnych nierówności: niech \(\displaystyle{ a>0, r>0}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sqrt{a} \le \frac{2}{3r}\left( \sqrt{a+r}(a+r)-\sqrt{a}a\right)}\).
Dowód lematu:
\(\displaystyle{ \sqrt{a+r}(a+r)-\sqrt{a}a=r\sqrt{a+r}+a(\sqrt{a+r}-\sqrt{a})=r\sqrt{a+r}+a \frac{r}{\sqrt{a+r}+\sqrt{a}}}\),
a zatem
\(\displaystyle{ \frac{2}{3r}\left( \sqrt{a+r}(a+r)-\sqrt{a}a\right)= \frac{2}{3}\left( \sqrt{a+r}+ \frac{a}{\sqrt{a+r}+\sqrt{a}} \right)}\)
Pozostaje więc do wykazania, że
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}\left( \sqrt{a+r}+ \frac{a}{\sqrt{a+r}+\sqrt{a}} \right)\ge \sqrt{a}}\)
Mnożymy stronami na pałę przez \(\displaystyle{ 3(\sqrt{a+r}+\sqrt{a})}\) i dostajemy równoważną nierówność \(\displaystyle{ 2(a+r)+2\sqrt{a(a+r)}+2a \ge 3a+3\sqrt{a(a+r)}}\)
Po redukcji:
\(\displaystyle{ a+2r \ge \sqrt{a(a+r)}}\), a to już widać, że to jest prawda (jak nie, to podnieś do kwadratu i znowu zredukuj).