ciąg rekurencyjny

[karol235]

Ciąg liczbowy \(\displaystyle{ x _{n}}\) zadany jest wzorem rekurencyjnym

\(\displaystyle{ x_1 = 10}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1} = 4 + \sqrt{x_n +2}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\).

Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność tego ciągu, a następnie obliczyć jego granicę.

[mol_ksiazkowy]

wsk \(\displaystyle{ x_n \geq 7}\)

[karol235]

To akurat zauważyłem, wyszło mi też, że dopóki \(\displaystyle{ x_n > 7}\) to ciąg maleje, czyli dla każdych \(\displaystyle{ x_n}\) maleje, ale dalej nie wiem jak się za to zadanie zabrać.

[Janusz Tracz]

Właściwie to już sam sobie odpowiedziałeś.

wyszło mi też, że dopóki x_n > 7 to ciąg maleje, czyli dla każdych x_n maleje,

Tu powinno być do póki \(\displaystyle{ x_1>7}\) to...

Ale można pokazać ograniczenie z doły przez \(\displaystyle{ 7}\). Indukcyjnie :

\(\displaystyle{ 10 \ge 7}\)

\(\displaystyle{ x_n \ge 7}\)

Sprawdzamy czy

\(\displaystyle{ x_{n+1} \ge 7}\)

z założenia wiemy że

\(\displaystyle{ 4+ \sqrt{x_n_2} \ge 7}\)

\(\displaystyle{ 3 \le \sqrt{x_n+2}}\)

\(\displaystyle{ 7 \le x_n}\)

co kończy dowód ograniczoności

Więc mamy ciąg ograniczony z dołu i malejący więc istnieje granica \(\displaystyle{ g \ge 7}\)

spełniająca takie równanie :

\(\displaystyle{ g=4+ \sqrt{g+2}}\)