ciąg rekurencyjny

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
karol235
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 mar 2017, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

ciąg rekurencyjny

Post autor: karol235 » 5 mar 2017, o 12:33

Ciąg liczbowy \(\displaystyle{ x _{n}}\) zadany jest wzorem rekurencyjnym

\(\displaystyle{ x_1 = 10}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1} = 4 + \sqrt{x_n +2}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\).

Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność tego ciągu, a następnie obliczyć jego granicę.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6007
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2499 razy
Pomógł: 666 razy

ciąg rekurencyjny

Post autor: mol_ksiazkowy » 5 mar 2017, o 12:43

wsk \(\displaystyle{ x_n \geq 7}\)

karol235
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 mar 2017, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

ciąg rekurencyjny

Post autor: karol235 » 5 mar 2017, o 13:06

To akurat zauważyłem, wyszło mi też, że dopóki \(\displaystyle{ x_n > 7}\) to ciąg maleje, czyli dla każdych \(\displaystyle{ x_n}\) maleje, ale dalej nie wiem jak się za to zadanie zabrać.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2765
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 897 razy

ciąg rekurencyjny

Post autor: Janusz Tracz » 5 mar 2017, o 13:18

Właściwie to już sam sobie odpowiedziałeś.
wyszło mi też, że dopóki x_n > 7 to ciąg maleje, czyli dla każdych x_n maleje,


Tu powinno być do póki \(\displaystyle{ x_1>7}\) to...

Ale można pokazać ograniczenie z doły przez \(\displaystyle{ 7}\). Indukcyjnie :

\(\displaystyle{ 10 \ge 7}\)

\(\displaystyle{ x_n \ge 7}\)

Sprawdzamy czy

\(\displaystyle{ x_{n+1} \ge 7}\)

z założenia wiemy że

\(\displaystyle{ 4+ \sqrt{x_n_2} \ge 7}\)

\(\displaystyle{ 3 \le \sqrt{x_n+2}}\)

\(\displaystyle{ 7 \le x_n}\)

co kończy dowód ograniczoności

Więc mamy ciąg ograniczony z dołu i malejący więc istnieje granica \(\displaystyle{ g \ge 7}\)

spełniająca takie równanie :

\(\displaystyle{ g=4+ \sqrt{g+2}}\)

ODPOWIEDZ