Matematyka.pl

Mam problem z takim oto zadaniem:
Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę ciągu:

\(\displaystyle{ c _{n}= \frac{1 ^{2} }{n ^{3}+1 }+ \frac{2^2}{n^3+2}+...+ \frac{n^2}{n^3+n}}\)
Myślałem o tym, że skoro granicą każdego z wyrazów jest 0 to suma granic też jest równa zero, ale nie jestem tego stwierdzenia pewny, poza tym, muszę obliczyć ją za pomocą twierdzenia o trzech ciągach.

Przecież twierdzenie o granicy sumy działa dla stałej liczby składników

Zauważ, że
\(\displaystyle{ \frac{1^2+2^2+\dots+n^2}{n^3+n} \le \frac{1 ^{2} }{n ^{3}+1 }+ \frac{2^2}{n^3+2}+...+ \frac{n^2}{n^3+n} \le \frac{1^2+2^2+\dots+n^2}{n^3+1}}\)

Ponadto udowodnij, że
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+\dots+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\), np. indukcyjnie
(choć IMHO tę sumę najładniej się liczy za pomocą metody zaburzania sum).

Nie wiem co bym dzisiaj bez Pana zrobił
Dziękuję bardzo za pomoc.