Matematyka.pl

Witam. Bardzo proszę o pomoc w poniższym zadaniu. Moim zadaniem jest policzyć długość boku wycinka wpisanego w wycinek okręgu, gdzie długość promienia koła wynosi \(\displaystyle{ r}\), a kąt \(\displaystyle{ \alpha \in (0, \pi )}\). Intuicja kazała mi się Was poradzić co do słuszności rozwiązania. Byłbym wdzięczny za wskazanie, w którym miejscu popełniłem ewentualny błąd:

1. \(\displaystyle{ \alpha + 2\beta = 180^{\circ}}\), więc \(\displaystyle{ \beta = 90^{\circ}- \frac{1}{2} \alpha}\).
2. \(\displaystyle{ \beta + 90^{\circ} + \gamma = 180^{\circ}}\) (gdzie \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) to kąt przy wierzchołku E kwadratu)
Idąc dalej tym tropem:
3. \(\displaystyle{ \gamma=90^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha)=\frac{1}{2} \alpha}\)

4. Zauważam, że \(\displaystyle{ CED}\) to wycinek koła o promieniu równym \(\displaystyle{ a}\) oraz kącie \(\displaystyle{ \gamma}\).
5. Zatem: \(\displaystyle{ AE=r-a}\)
6. Z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ a^{2} = (r-a)^{2}+(r-a)^{2}-2(r-a)^{2}\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ a^{2} = (r-a)^{2}(2-2\cos \alpha)}\)
\(\displaystyle{ a = (r-a)( \sqrt{2-2\cos \alpha} )}\)
\(\displaystyle{ a(1+\sqrt{2-2\cos \alpha}) = r\sqrt{2-2\cos \alpha}}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{r\sqrt{2-2\cos \alpha}}{1+\sqrt{2-2\cos \alpha}}}\)

PS: Widziałem ten https://www.matematyka.pl/164453.htm temat, ale za chiny nie widzę tego trójkąta \(\displaystyle{ r, 2a, \frac{a}{\sin0,5\alpha}}\) (\(\displaystyle{ 2a}\) tam, to u mnie po prostu \(\displaystyle{ a}\)).

Rysunek na którym się oparłem pisząc pytanie: Jeżeli ktoś znajdzie jakiś inny sposób na rozwiązanie zadania, również byłbym wdzięczny.
Oprócz powyższego tematu nie mogłem znaleźć żadnego podobnego zadania. (a szukałem nawet frazami po angielsku )

Witam.

Błędem w rozwiązaniu jest wniosek z punktu 4. Z czego on wynika?
ECD nie jest wycinkiem koła (symetralna odcinka CD nie przechodzi przez punkt E, tylko przez punkt A).

Nie próbowałem tego rozwiązania, ale proponuję narysować cięciwę CB i wyznaczyć punkt F przecięcia odcinków ED i CB. Otrzymamy dwa trójkąty prostokątne EFC oraz DFC które mogą być przydatne do rozwiązania zadania.

mat_61 pisze:Proponuję narysować cięciwę CB i wyznaczyć punkt F przecięcia odcinków ED i CB. Otrzymamy dwa trójkąty prostokątne EFC oraz DFC które mogą być przydatne do rozwiązania zadania.

Spróbowałem, ale o otrzymanych trójkątach niestety nie da się chyba już nic więcej powiedzieć.

Narysowałam dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), która przecięła boki kwadratu w \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\).

\(\displaystyle{ \frac{AM}{EM}=\ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right) \ \ \ \Rightarrow \ \ \ AM=EM\cdot \ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right)=\frac12a\cdot \ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right)}\)

z tw. Pietii Golasa w \(\displaystyle{ \triangle AND}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} AD^2=AN^2+ND^2 \\AD=r\\AN=AM+a=\frac12a\cdot \ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right)+a\\ND=\frac12a \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ r^2=\frac14a^2\left(\ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right)+2 \right) ^2+\frac14a^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \red a=\frac{2}{\sqrt{\left(\ctg \left( \frac{ \alpha }{2}\right)+2 \right) ^2+1}}\cdot r}\)

P kinia7 uprzedziła mnie, ależ to zupełnie normalne - szacunek.
"Mój" wzór bardzo podobny. Obliczenia oparłem na mierze łukowej.