Matematyka.pl

Mamy funkcję \(\displaystyle{ f}\) określoną na
\(\displaystyle{ X \times X,}\)
gdzie \(\displaystyle{ X \subseteq \mathbb{C}}\)
o wartościach zespolonych.
Czy wiedząc, że funkcja jest ciągła na przekątnej, tzn. ciągłe jest \(\displaystyle{ f(z,z)}\) jako funkcja jednej zmiennej \(\displaystyle{ z}\), to czy możemy coś powiedzieć o ciągłości samej funkcji \(\displaystyle{ f}\)? Mile widziane również ogólniejsze twierdzenia, dotyczące ciągłości na iloczynie kartezjańskim przestrzeni topologicznych.

Z ciągłości na przekątnej niewiele wynika. Niech \(\displaystyle{ f(z,z)=0}\) oraz \(\displaystyle{ f(z,w)=1}\) dla \(\displaystyle{ z\ne w}\). Co powiemy o ciągłości takiej funkcji.? Funkcja nie musi być ciągła w żadnym punkcie poza przekątną. Np. poza nią można wziąć nieciągłą funkcję addytywną albo funkcję typu Dirichleta dla prostoty.