Matematyka.pl

Należy wykazać, iż dla każdego \(\displaystyle{ a}\) nienaturalnego istnieje rzeczywisty \(\displaystyle{ x}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \left| \sin ax\right| > a\left| \sin x\right|}\).

pawlo392 pisze:Należy wykazać, iż dla każdego \(\displaystyle{ a}\) nienaturalnego istnieje rzeczywisty \(\displaystyle{ x}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \left| \sin cx\right| > c\left| \sin x\right|}\).

Co ma wspólnego \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\) ? Czyżby były równe...?

JK

Jan Kraszewski pisze:

pawlo392 pisze:Należy wykazać, iż dla każdego \(\displaystyle{ a}\) nienaturalnego istnieje rzeczywisty \(\displaystyle{ x}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \left| \sin cx\right| > c\left| \sin x\right|}\).

Co ma wspólnego \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\) ? Czyżby były równe...?

JK

Przepraszam, pomyliłem się. Już poprawione.

Gdy \(\displaystyle{ x=k\pi, k \in \ZZ}\), to obie strony są równe (a to nie daje nam tego, czego sobie życzymy), więc usuwamy z rozważań taki przypadek. Zatem możemy zapisać równoważnie:
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right| >a}\)

Ponieważ np. \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi}\sin x=0}\), a ponadto dla \(\displaystyle{ a \notin \ZZ}\) jest
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi}\sin ax \neq 0}\), zatem...
(dokończ z definicji granicy funkcji, wsk. ile to jest wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right|}\) ).

Granica tego wyrażenia jeśli się nie mylę to nieskończoność, ale na tę chwilę i tak chyba nie rozumiem jaki wniosek z tego wyciągnąć..

Tak, zgadza się. Co to znaczy, że
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right|=\infty}\)? Tak z definicji?

Mnie się wydaje, że coś takiego:
dla dowolnego \(\displaystyle{ M \in \RR}\) istnieje takie \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), że jeśli
\(\displaystyle{ |x-\pi|<\epsilon}\), to \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \left| \frac{\sin ax}{\sin x} \right|>M}\)
Wystarczy z tego skorzystać.

A no tak, dziękuje bardzo.