Kule i hotel

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kokon18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 15 wrz 2007, o 17:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: abcd
Podziękował: 2 razy

Kule i hotel

Post autor: kokon18 » 15 wrz 2007, o 17:32

zad.1
Pięć ponumerowanych kul umieszczamy losowo w czterech roznokolorowych pudelkach. ile jest mozliwych rozmieszczen tych kul jezeli:
a) kazda kula moze znalezc sie w dowolnym pudelku
b) kule moga sie znalezc tylko w dwoch pudelkach?

zad.2
Do pewnej miejscowosci, w ktorej znajduja sie 4 hotele, przyjechalo osiem osob, z ktorych kazda losowo wybiera hotel, w ktorym sie zatrzyma:
a) ile jest wszystkich sposobow zakwaterowania tych osob?
b) ile jest takich sposobow zakwaterowania zeby wszystkie osoby znalazly sie tylko w dwoch hotelach?

jestem bardzo słaba z matematyki wiec prosze o jak najprostze rozwiazanie zebym pozniej mogla jakos sama dojsc co sie z czego wzielo z gory dzieki za pomoc :*
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2007, o 17:57 przez kokon18, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Kule i hotel

Post autor: max » 15 wrz 2007, o 17:51

1.
a) pięć razy wybieramy jedno z czterech pudełek do którego mamy wrzucić kolejną kulkę
\(\displaystyle{ 4^{5} = 1024}\)
b) najpierw wybieramy dwa pudełka (z czterech) do których będziemy wrzucać kulki, a następnie pięć razy wybieramy jedno z tych dwóch pudełek, w którym umieszczamy kolejną kulkę... przy czym nie jest dla mnie jasne czy kulki mają się znaleźć w co najwyżej dwóch pudełkach, czy dokładnie w dwóch pudełkach? W pierwszym wypadku w wyniku przedstawionego rozumowania otrzymamy:
\(\displaystyle{ {4\choose 2} 2^{5}= 192}\)
a w drugim wypadku po wyborze dwóch pojemników, w których będą lądować kulki od \(\displaystyle{ 2^{5}}\) możliwości rozmieszczenia kul musimy odjąć te, w których jeden z dwóch pojemników będzie pusty, stąd otrzymalibyśmy:
\(\displaystyle{ {4\choose 2} (2^{5} - 2) = 180}\)

2.
a) Każda z ośmiu osób wybiera jeden z czterech hoteli, czyli mamy:
\(\displaystyle{ 4^{8} = 65536}\)
sposobów zakwaterowania.
b) Podobnie jak w poprzednim zadaniu nie do końca jestem pewien o co jego autorowi chodziło. Jeśli te osoby mają się znaleźć w co najwyżej dwóch hotelach, to analogicznie jak w poprzednim zadaniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ {4\choose 2}\cdot 2^{8} = 1536}\)
możliwości zakwaterowania.
Jeśli natomiast mamy ich zakwaterować w dokładnie dwóch hotelach, to rozumując tak samo jak w 1. zadaniu liczba sposobów wyniesie:
\(\displaystyle{ {4\choose 2}\cdot (2^{8} - 2) = 1524}\)
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2007, o 17:55 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Kule i hotel

Post autor: Emiel Regis » 15 wrz 2007, o 17:54

1.
a)
\(\displaystyle{ 4^5}\)
- pierwsza kula może trafić do czterech pudełek, druga także itd... a kul jest pięć
b)
\(\displaystyle{ C^2_4 (2^5-2)}\)
ew.
\(\displaystyle{ C^2_4 2^5}\)
- tutaj wybieramy dwa pudełka z czterech, a pozniej każda kula może trafić do jednego z dwóch pudełek
- dugi wynik wtedy gdy kule mogą trafić wszystkie do jednego pudełka

kokon18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 15 wrz 2007, o 17:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: abcd
Podziękował: 2 razy

Kule i hotel

Post autor: kokon18 » 15 wrz 2007, o 18:12

jeszcze raz dzieki za pomoc

ODPOWIEDZ