Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ p>0}\) oznacza liczbę rzeczywistą.Niech \(\displaystyle{ P=(p;0,5 p^{2})}\) i niech \(\displaystyle{ Q=(q;0.5q^{2})}\) przy czym styczne do paraboli \(\displaystyle{ y=0.5x^{2}}\) w punktach\(\displaystyle{ P}\) oraz \(\displaystyle{ Q}\) są prostopadłe. Wyznacz \(\displaystyle{ q}\) w zależności od \(\displaystyle{ p}\) oraz punkt wspólny tych stycznych \(\displaystyle{ R}\). Znajdź \(\displaystyle{ p>0}\) dla której pole trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\) jest najmniejsze lub wykaż, że taka liczba nie istnieje. Wyznaczyłem już współrzędne tych trzech punktów \(\displaystyle{ Q=( \frac{-1}{p}; \frac{-1}{2p ^{2} })}\) oraz \(\displaystyle{ R=( \frac{p ^{2}-1 }{2p};-0.5)}\). Jedyny pomysł to liczenie iloczynu wektorowego by znaleźć pole trójkąta i dalej pochodna... ale przy takich punktach to dość karkołomne... jest inny sposób ?

Zauważ, że trójkąt \(\displaystyle{ PQR}\) jest prostokątny! Nie jest tak tragicznie!

No wiem, że prostokątny, ale mimo tego wciąż chyba jestem ślepy ? Czyli muszę policzyć długości odcinków \(\displaystyle{ PR}\) \(\displaystyle{ QR}\) czyli przyprostokątnych ? Innej rady nie ma ?

No lepsze to niż iloczyn wektorowy, ale rozumiem Twój ból. Już jak masz punkty to policzenie tych odległości to dla Ciebie drobnostka ().

Chciałbym Ci powiedzieć, że da się jakoś ładniej, ale nie umiem (przeliczyłem całe zadanko tak jak Ty i na nic nie wpadłem). Jedyne co mogę zrobić, to pokazać ładną animację, która udziela odpowiedzi.



-- 23 lutego 2017, 21:04 --

PS. W obliczonej przez Ciebie drugiej współrzędnej punktu \(\displaystyle{ Q}\), wkradł się minus.

-- 23 lutego 2017, 21:07 --

PS2. Szczęśliwie funkcja celu uprasza się do czegoś postaci: \(\displaystyle{ (p + \frac{1}{p})^6}\), przez co widać, że \(\displaystyle{ p=1}\) jest argumentem w którym jest ekstremum.
Wolfram proof: https://tinyurl.com/j7nxnhu