Sumy szeregów geometrycznych

[reporter88]

Witam. Mam problem z zadaniem typu rozwiąż równanie, w którym po lewej stronie występują sumy szeregów geometrycznych. Mam parę takich zadań ale nie wiem jak się za nie zabrać w następnym etapie.
\(\displaystyle{ x- \frac{1}{2x}+ \frac{x^2}{2}- \frac{1}{4x}+ \frac{x^3}{4}- \frac{1}{8x}+...=1}\)
Wiem, że po tym powinno się z tego zrobić takie coś, w sensie rozdzielić na tak jakby dwa szeregi geometryczne. Ale nie wiem do końca jak poprawnie zrobić dalej. Próbowałem robić podobnie jak z jednym szeregiem, ale chyba brakuje mi paru informacji. Z góry dziękuje za pomoc
\(\displaystyle{ \left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}+...\right)-\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{8x} +...\right)=1}\)

[Premislav]

Przedstaw te dwie sumy szeregów w postaci zwartej, tylko uważaj na dziedzinę (pamiętaj, że szereg geometryczny
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} aq^n}\) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |q|<1}\)), a dostaniesz równanie z jedną niewiadomą:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1- \frac{x}{2} } - \frac{ \frac{1}{2x} }{1- \frac{1}{2} }=1}\)