całka krzywoliniowa

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

całka krzywoliniowa

Post autor: rObO87 » 15 wrz 2007, o 12:21

Obliczyć całkę:

\(\displaystyle{ \int\limits_{K} 2xydx + (x^2-2yz)dy + (4z-y^2)dz}\)

jeżeli krzywa K dana jest parametryzacją:

\(\displaystyle{ K(t)=(arctg(\frac{t}{2} ; arcsin(\frac{t}{2}) ; t^2+1)}\)

\(\displaystyle{ t \epsilon [0,2]}\)

Czyli jest to całka krzywoliniowa skierowana którą nalezy policzyć tak:
za x podstawiam \(\displaystyle{ arctg(\frac{1}{2})}\)
za y podstawiam \(\displaystyle{ arcsin(\frac{1}{2})}\)
za z podstawiam \(\displaystyle{ t^2+1}\)

za dx podstawiam \(\displaystyle{ arctg(\frac{t}{2})'=\frac{1}{2} * \frac{1}{1+\frac{t^2}{4}}}\)
za dy podstawiam \(\displaystyle{ arcsin(\frac{t}{2})'=\frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{1-\frac{t^2}{4}}}}\)
za dz podstawiam \(\displaystyle{ t^2+1'=2t}\)

W ten sposób otrzymam całkę po "t" od 0 do 2. Pytanie czy to dobrze jest, bo całka jak widać trochę skomplikowana.
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2007, o 13:21 przez rObO87, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka krzywoliniowa

Post autor: luka52 » 15 wrz 2007, o 13:14

Jeżeli krzywa K jest na pewno tak sparametryzowana, to nie wiem dlaczego u Ciebie przy obliczeniu dx i dy pojawiła się nie wiadomo skąd zmienna t ??:
W tym przypadku dx=0 i dy=0.

rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

całka krzywoliniowa

Post autor: rObO87 » 15 wrz 2007, o 13:22

Źle przepisałem parametryzację. Już poprawiona.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka krzywoliniowa

Post autor: luka52 » 15 wrz 2007, o 14:59

Nie jestem do końca pewien, ale wygląda mi to na jakąś całkę nieelementarną

rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

całka krzywoliniowa

Post autor: rObO87 » 15 wrz 2007, o 16:03

Taką całkę miałem na egzaminie. Więc są 2 możliwości:
1. Błąd w druku kartki z zadaniami
2. Celowe działanie wykładowcy

ODPOWIEDZ