pierścien ilorazowy
: 13 lut 2017, o 14:38
Może mi ktoś wytłumaczyć te pierścienie ilorazowe?
Na przykład na podstawie takich zadań:
Niech \(\displaystyle{ G=\CC^*}\) będzie multiplikatywną grupą ciała liczb zespolonych, zaś \(\displaystyle{ H}\) jej podgrupą złożoną z liczb o module \(\displaystyle{ 1}\). Wykaż, że grupa ilorazowa \(\displaystyle{ G/H}\) jest izomorficzna z grupą dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR ^{+}}\) z działaniem mnożenia.
Nie wiem czy dobrze zaczynam, ale wydaje mi się że będzie to tak:
\(\displaystyle{ f: G \rightarrow \RR ^{+}}\) taka, że \(\displaystyle{ kerf=H}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\left\{ x+H \left| x \in G \right\}}\)
O ile to jest dobrze to co nalezy zrobić dalej?
Izomorfizm to bijekcja homomorfizmu, czyli mam sprawdzić warunki homomorfizmu?
2. Jak będzie wyglądała grupa ilorazowa \(\displaystyle{ \ZZ / (3)}\) ?
tzn \(\displaystyle{ \ZZ / 3 \ZZ = ??}\)
3. Jak wykazać, że \(\displaystyle{ P / I}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ _2}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest pierścieniem liczb wymiernych mających nieparzysty mianownik ( w postaci ułamka nieskracalnego), a \(\displaystyle{ I}\) oznacza zbiór elementów w \(\displaystyle{ P}\) mający parzysty licznik ( w postaci ułamka nieskracalnego) ??
Na przykład na podstawie takich zadań:
Niech \(\displaystyle{ G=\CC^*}\) będzie multiplikatywną grupą ciała liczb zespolonych, zaś \(\displaystyle{ H}\) jej podgrupą złożoną z liczb o module \(\displaystyle{ 1}\). Wykaż, że grupa ilorazowa \(\displaystyle{ G/H}\) jest izomorficzna z grupą dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR ^{+}}\) z działaniem mnożenia.
Nie wiem czy dobrze zaczynam, ale wydaje mi się że będzie to tak:
\(\displaystyle{ f: G \rightarrow \RR ^{+}}\) taka, że \(\displaystyle{ kerf=H}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\left\{ x+H \left| x \in G \right\}}\)
O ile to jest dobrze to co nalezy zrobić dalej?
Izomorfizm to bijekcja homomorfizmu, czyli mam sprawdzić warunki homomorfizmu?
2. Jak będzie wyglądała grupa ilorazowa \(\displaystyle{ \ZZ / (3)}\) ?
tzn \(\displaystyle{ \ZZ / 3 \ZZ = ??}\)
3. Jak wykazać, że \(\displaystyle{ P / I}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ _2}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest pierścieniem liczb wymiernych mających nieparzysty mianownik ( w postaci ułamka nieskracalnego), a \(\displaystyle{ I}\) oznacza zbiór elementów w \(\displaystyle{ P}\) mający parzysty licznik ( w postaci ułamka nieskracalnego) ??