Postać trygonometryczna - problem z argumentem

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Rindek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 wrz 2007, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Września

Postać trygonometryczna - problem z argumentem

Post autor: Rindek » 14 wrz 2007, o 22:28

Witam. Mam problem z takim oto zadankiem.

Mam znaleźć postać trygonometryczną liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ z=\sin\alpha - i\cos\alpha}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) spełnia nierówności \(\displaystyle{ 0 < < \frac{\pi}{2}}\)

Wiem, że:
\(\displaystyle{ x = \sin\alpha \\
y = - \cos\alpha \\
\\
|z|=\sqrt{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = 1\\

\begin{cases}
\sin\varphi = - \cos\alpha \\
\cos\varphi = \sin\alpha
\end{cases}}\)


Wiem też, że \(\displaystyle{ \varphi}\) ma postać \(\displaystyle{ \varphi = \frac{3}{2}\pi + }\), jednak nie wiem jak uzyskać taką postać proszę o pomoc.

Rind

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Postać trygonometryczna - problem z argumentem

Post autor: Rogal » 15 wrz 2007, o 00:20

Może by ten układ równań pomnożyć stronami i skorzystać ze wzoru na sinus kąta podwojnego? Potem kiedy dwa sinusy są sobie równe już nie będzie problemem znaleźć

Rindek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 wrz 2007, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Września

Postać trygonometryczna - problem z argumentem

Post autor: Rindek » 15 wrz 2007, o 11:50

Ale tutaj mam dwa różne kąty: \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi}\), które nie mają ze sobą nic wspólnego

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Postać trygonometryczna - problem z argumentem

Post autor: Rogal » 15 wrz 2007, o 13:27

A próbowałeś zrobić, co pisałem?
Pomnożyłeś ten układ stronami?
Otrzymałeś \(\displaystyle{ \sin 2\phi = \sin (-2\alpha)}\)?
Wiesz kiedy dwa sinusy są sobie równe?

Rindek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 wrz 2007, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Września

Postać trygonometryczna - problem z argumentem

Post autor: Rindek » 15 wrz 2007, o 17:15

Rogal, rozwiązałem to inaczej.

Narysowałem \(\displaystyle{ \sin\varphi}\) oraz \(\displaystyle{ -\cos\alpha}\), następnie
narysowałem \(\displaystyle{ \cos\varphi}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\alpha}\), i się okazało, że w obydwu przypadkach funkcja z \(\displaystyle{ \varphi}\) jest zwykłym przesunięciem o \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\pi}\), stąd taka wartość.

R.

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Postać trygonometryczna - problem z argumentem

Post autor: Rogal » 15 wrz 2007, o 22:40

Rysunek jest dość kiepskim dowodem, ale powiedzmy, że dla funkcji trygonometrycznych byłby wystarczający

Rindek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 wrz 2007, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Września

Postać trygonometryczna - problem z argumentem

Post autor: Rindek » 16 wrz 2007, o 01:10

Rogal, właśnie najlepsze w tym zadaniu jest to, że ono jest podobno na "3 linijki", więc nie sądzę, żeby trzeba było wykorzystywać tego typu wzory (na sinus podwójnego kąta), ale dzięki za odpowiedzi

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Postać trygonometryczna - problem z argumentem

Post autor: Rogal » 16 wrz 2007, o 15:15

No, to by się zgadzało. Pierwsza linijka - układ równań, druga - równanie z mojego posta wyżej powstałe z pomnożenia równań przez siebie, trzecie - rozwiązanie
Nie przesadzaj - wzór na sinus podwojony to nie jest wyższa matematyka tylko dla magów ósmego stopnia

ODPOWIEDZ