grupa elementów odwracalnych, ciało izomorficzne z [...]
: 13 lut 2017, o 03:03
Mam rozwiązane 2 przykłady:
1.
Niech d oznacza ujemną liczbę całkowitą. Wykaż, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \left[ \sqrt{d} \right] =\left\{ a+b \sqrt{d} \ | \ a,b \in \mathbb{Z} \right\}}\) jest podpierścienien ciała liczb zespolonych. Wyznacz grupę elementów odwracalnych.
\(\displaystyle{ \left( a^2-d b^2 \right) \left( x^2+d y^2\right) =1}\)
Z tego wynika, że
\(\displaystyle{ a^2-d b^2 =1}\)
i
\(\displaystyle{ a^2-d b^2 =1}\)
Nie wiem skąd się wzieło to, że:
jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0 \ \Rightarrow a^2=1 \ , \ b=0}\) bo \(\displaystyle{ b^2 d \ge 0}\)
jeśli \(\displaystyle{ a=0 \Rightarrow -b^2 d=1 \Rightarrow d=-1}\)
No i potem grupa elementów odwracalnych.
Nie moje rozwiązanie, ale chyba jest prawidłowe. Staram się je zrozumieć, pomożecie?
2. Wyznaczyć elementy odwracalne pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \left[ \frac{1+ \sqrt{-3} }{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ \left( a+b \frac{1+ \sqrt{-3} }{2} \right) \left( c+d \frac{1+ \sqrt{-3} }{2} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \left( a-b \frac{1+ \sqrt{-3} }{2} \right) \left( c-d \frac{1+ \sqrt{-3} }{2} \right) =1}\)
I teraz mam przekształcenie, które nie wiem skąd się wzięło, bo gdy wymnażac te dwa równania to mam zupełnie co innego :
\(\displaystyle{ \left( \left( a+ \frac{b}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} b^2 \right) \left( \left( c+ \frac{b}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} d^2 \right)=1}\)
3. Małe pytanko o izomorfizmie: Jeśli mam wykazać, że jakiś zbiór jest ciałem izomorficznym z jakimś innym zbiorem to wystarczy pokazać, iż jako, że izomorfizm to bijekcja homomorfizmu, to jeżeli funkcja jest bijekcją to warunki homomorfizmu są spełnione?
1.
Niech d oznacza ujemną liczbę całkowitą. Wykaż, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \left[ \sqrt{d} \right] =\left\{ a+b \sqrt{d} \ | \ a,b \in \mathbb{Z} \right\}}\) jest podpierścienien ciała liczb zespolonych. Wyznacz grupę elementów odwracalnych.
\(\displaystyle{ \left( a^2-d b^2 \right) \left( x^2+d y^2\right) =1}\)
Z tego wynika, że
\(\displaystyle{ a^2-d b^2 =1}\)
i
\(\displaystyle{ a^2-d b^2 =1}\)
Nie wiem skąd się wzieło to, że:
jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0 \ \Rightarrow a^2=1 \ , \ b=0}\) bo \(\displaystyle{ b^2 d \ge 0}\)
jeśli \(\displaystyle{ a=0 \Rightarrow -b^2 d=1 \Rightarrow d=-1}\)
No i potem grupa elementów odwracalnych.
Nie moje rozwiązanie, ale chyba jest prawidłowe. Staram się je zrozumieć, pomożecie?
2. Wyznaczyć elementy odwracalne pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \left[ \frac{1+ \sqrt{-3} }{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ \left( a+b \frac{1+ \sqrt{-3} }{2} \right) \left( c+d \frac{1+ \sqrt{-3} }{2} \right) =1}\)
\(\displaystyle{ \left( a-b \frac{1+ \sqrt{-3} }{2} \right) \left( c-d \frac{1+ \sqrt{-3} }{2} \right) =1}\)
I teraz mam przekształcenie, które nie wiem skąd się wzięło, bo gdy wymnażac te dwa równania to mam zupełnie co innego :
\(\displaystyle{ \left( \left( a+ \frac{b}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} b^2 \right) \left( \left( c+ \frac{b}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} d^2 \right)=1}\)
3. Małe pytanko o izomorfizmie: Jeśli mam wykazać, że jakiś zbiór jest ciałem izomorficznym z jakimś innym zbiorem to wystarczy pokazać, iż jako, że izomorfizm to bijekcja homomorfizmu, to jeżeli funkcja jest bijekcją to warunki homomorfizmu są spełnione?