Ciekawa własność ciągu arytmetycznego

[poetaopole]

Gdzieś kiedyś usłyszałem (podaję to z pamięci, więc nie zabrzmi to raczej profesjonalnie), że nieparzysta suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego równa jest nieparzystej wielokrotności jego środkowego wyrazu.
Spróbowałem to jakoś zapisać i wyszło coś takiego: \(\displaystyle{ S _{2n-1} =(2n-1) \cdot a _{n}}\). Umiałby ktoś coś takiego udowodnić?

[Premislav]

Zauważ, że w ciągu arytmetycznym mamy:
\(\displaystyle{ a_n=a_n\\ \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=a_n\\ \frac{a_{n+2}+a_{n-2}}{2}=a_n\\ \dots \\ \frac{a_{1}+a_{2n-1}}{2}=a_n}\)

Poradzisz sobie dalej

[poetaopole]

Podstawiłem do wzoru na sumę i wyszło od razu. Dziękuję