krańce przedziału zbieżności

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

krańce przedziału zbieżności

Post autor: TS » 14 wrz 2007, o 14:31

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{5^n+n} (x-1)^n}\)
\(\displaystyle{ R=\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-3}{2}\leqslant x}\)
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2007, o 14:35 przez TS, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

krańce przedziału zbieżności

Post autor: robin5hood » 14 wrz 2007, o 15:31

w przypadku gdy x=7/2 szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżnośći

Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

krańce przedziału zbieżności

Post autor: TS » 14 wrz 2007, o 15:48

Czyli, że dla \(\displaystyle{ n\to\infty}\) nie wynosi to 0(tylko 1)?

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

krańce przedziału zbieżności

Post autor: robin5hood » 14 wrz 2007, o 15:57

tak dokladnie

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

krańce przedziału zbieżności

Post autor: max » 14 wrz 2007, o 16:30

Dla \(\displaystyle{ x = -\frac{3}{2}}\) również nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności.
(ciekaw jestem jakim cudem granica ciągu Cauchy'ego wyszła Ci ujemna i jak chciałeś zastosować tutaj to kryterium :???: )

Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

krańce przedziału zbieżności

Post autor: TS » 14 wrz 2007, o 17:43

\(\displaystyle{ (\sqrt[n]({{\frac{(-3)^n}{2^n}})\frac{2^n}{5^n+n}}}=\frac{-3}{5}\sqrt[n]{\frac{1}{1+\frac{n}{5^n}}}=\frac{-3}{5}}\)

czy nie?..

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

krańce przedziału zbieżności

Post autor: max » 14 wrz 2007, o 18:21

Nie.
W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie jest zdefiniowany.
Poza tym kryterium zbieżności Cauchy'ego stosuje się do szeregów o wyrazach dodatnich.
Wreszcie dla \(\displaystyle{ x = -\frac{3}{2}}\) wyraz ogólny szeregu ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{2^{n}}{3^{n} + n}\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)^{n}}\)
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2007, o 21:04 przez max, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

krańce przedziału zbieżności

Post autor: TS » 14 wrz 2007, o 18:34

Chodziło Ci o:
\(\displaystyle{ \frac{2^{n}}{5^{n} + n}\cdot ft(-\frac{5}{2}\right)^{n}}\)
?

Ale jak nie moze być \(\displaystyle{ \sqrt[n]{(-5)^n}}\)skoro to \(\displaystyle{ (-5)^\frac{n}{n}}\) czyli -5 ?

Ale sprawdzając dla szeregu o przemiennym znaku mogę sprawdzić dla wartości bezwględnej i stwierdzić np zbieżność bezwględną?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

krańce przedziału zbieżności

Post autor: max » 14 wrz 2007, o 21:03

Tak, o to mi chodziło, przepraszam za literówkę. Co do Twojego rozumowania - zauważ, że np:
\(\displaystyle{ \sqrt{(-5)^{2}} = \sqrt{25} = 5\neq -5}\)
bo pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego \(\displaystyle{ 2n}\) z liczby (dodatniej) \(\displaystyle{ a}\) określa się jako nieujemne rozwiązanie równania:
\(\displaystyle{ x^{2n} = a}\)
Oczywiście kryterium Cauchy'ego może być zastosowane do badania zbieżności bezwzględnej, gdyż szereg o wyrazach równych wartościom bezwzględnym jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (jeśli pominąć wyrazy równe zeru, to można nawet powiedzieć, że o wyrazach dodatnich). W przypadku szeregów o skończonej liczbie wyrazów jednego ze znaków z tego, że szereg nie jest zbieżny bezwzględnie wynika, że szereg nie jest zbieżny również warunkowo. Ale w przypadku badania zbieżności warunkowej szeregów o nieskończonej ilości wyrazów zarówno dodatnich jak i ujemnych należy posłużyć się innymi metodami. W tym przypadku wystarczyło sprawdzić warunek konieczny.

ODPOWIEDZ