Matematyka.pl

Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać \(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=-32}\). Wynik podać w postaci algebraicznej.

Jakieś próby?

Nie mam pojęcia co zrobić z tym sprzężeniem w tym równaniu :/-- 8 lut 2017, o 11:02 --Można poprosić o jakąś podpowiedz do rozwiązania tego zadania?

wskazówka:

\(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\)

a jeśli tak to

\(\displaystyle{ \overline{z}=re^{-i\phi}}\)

Według tego wzoru, jeśli dobrze zrozumiałem to moje równanie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=re^{-i\phi}r^{4}e^{4i\phi}}\)
gdzie równanie trygonometryczne wygląda:
\(\displaystyle{ -32=32(\cos\pi+i\sin\pi)}\)
czyli jak podstawimy to co przedtem mieliśmy mamy:
\(\displaystyle{ 32e^{-i\pi}32^{4}e^{4i\pi}=-33554432}\)
i ja mam wrażenie, że coś poszło nie tak, bo taki wynik jest mało prawdopodobny, iż jest poprawny, więc co zrobiłem nie tak czy jak to zrobić jakoś inaczej?

Nie wiem co zrobiłeś ale nie o to chodzi i jest źle.

Proponowane podstawienie korzysta z postaci wykładniczej liczby zespolonej jest to równoważne postaci trygonometrycznej bo

\(\displaystyle{ re^{i\phi}=r(\cos\phi+i\sin\phi)}\)

Źle to podstawiasz nie wiadomo za co.
Po prostu skoro

\(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\)

to

\(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=re^{-i\phi} \cdot r^4e^{4i\phi}=r^5e^{3i\phi}}\)

zapiszemy teraz że

\(\displaystyle{ r^5e^{3i\phi+2k \pi i}=-32}\)

dodanie \(\displaystyle{ 2k \pi i}\) to tak jak by mnożyć przez \(\displaystyle{ 1}\) zrobiłem to by uwzględnić wszystkie rozwiązania.
Porównując moduły i kąt mamy że

\(\displaystyle{ r^5=32}\)

czyli

\(\displaystyle{ r=2}\)

a kąt

\(\displaystyle{ 3i\phi+2k \pi i= \pi i}\)

\(\displaystyle{ \phi= \frac{ \pi }{3}+ \frac{2}{3}k \pi}\)

gdzie \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\)

więc wynik to

\(\displaystyle{ z=2 \cdot e^{\left( \frac{ \pi }{3}+ \frac{2}{3}k \pi\right)i }}\)

co ostatecznie można zamienić na

\(\displaystyle{ z_1=2e^{ \frac{ \pi }{3}i }=1+ i\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ z_2=2e^{ \pi i}=-2}\)

\(\displaystyle{ z_3=2e^{ \frac{5 \pi }{3}i }=1-i \sqrt{3}}\)

podstaw to liczby do równania i sprawdź czy są poprane.

Dzięki wielkie, wyniki są jak najbardziej dobre.
Ale mam prośbę czy byś mógł mi wytłumaczyć jak policzyć bez pomocy wolframa alpha np. \(\displaystyle{ 2e^{\pi i}}\)

Napisałem to w pierwszej linijce.

\(\displaystyle{ re^{i\phi}=r(\cos\phi+i\sin\phi)}\)

więc

\(\displaystyle{ 2e^{ \pi i}=2(\cos \pi +i\sin \pi )=2(-1+0)=-2}\)

Ok, rozumiem. Dzięki jeszcze raz za pomoc