Matematyka.pl

Wykazać, że działanie grupy \(\displaystyle{ G}\) na sobie przez sprzężenie jest efektywne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ Z \left( G \right) = \left\langle e \right\rangle}\).

Z góry dziękuje za pomoc.

Co to znaczy, że działanie jest efektywne? Jak mi powiesz, to pomogę

Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się wiernym lub efektywnym; jest to równoważne temu, że wyłącznie element neutralny grupy stabilizuje zbiór.

No dobra, to w rozważ sobie homomorfizm grupy \(\displaystyle{ G}\) w grupę jej automorfizmów wewnętrznych \(\displaystyle{ Inn(G)}\).

\(\displaystyle{ \phi\colon G\to Inn(G)}\). Teraz zauważ, że jądrem tego homomorfizmu jest \(\displaystyle{ Z(G)}\)

Średnio kumam...

No dobra w jedną stronę przez kontrapozycję. Jeśli centrum jest nietrywialne, to istnieje element różny od neutralnego, który stabilizuje cały zbiór (ten element z centrum różny od neutralnego), bo przechodzi na przekształcenie identycznościowe przez \(\displaystyle{ \phi}\) z mojego poprzedniego posta.

W drugą stronę spróbuj Ty

Czyli powinno wyjść, że:
\(\displaystyle{ \phi^{-1} (e_{Inn(G)}) = g \in G : \{gg' = g'g \quad \forall_{g \in G}\}}\) ?

Ok, jak masz sobie automorfizm wewnętrzny wyznaczony przez element \(\displaystyle{ g}\), to on działa tak:

\(\displaystyle{ h \rightarrow ghg^{-1}}\). Jeśli \(\displaystyle{ g\in Z(G)}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ g}\) jest przemienny ze wszystkimi innymi elementami \(\displaystyle{ G}\), więc tak określona funkcja będzie indentycznością, więc tak

Coś jest nie tak z tym zadaniem. W grupie \(\displaystyle{ S_3}\) jest trywialne centrum, ale działanie przez sprzężenie zachowuje znak permutacji, więc są przynajmniej trzy orbity: identyczność, \(\displaystyle{ (1 \, 2)}\) i \(\displaystyle{ (1 \, 2 \, 3)}\) muszą być w różnych orbitach.

No chwila, co nie tak? Twierdzimy, że trywialność jądra jest równoważna z tym, że w działaniu grupy na siebie przez automorfizmy wewnętrzne jedyny element, który stabilizuje całość to element neutralny. W którym miejscu jest niby źle?

Zuza0612 pisze:Wykazać, że działanie grupy \(\displaystyle{ G}\) na sobie przez sprzężenie jest efektywne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ Z \left( G \right) = \left\langle e \right\rangle}\).

Zuza0612 pisze:Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się wiernym lub efektywnym

To jest nie tak, że istnieje grupa o trywialnym centrum z więcej niż jedną orbitą działania przez sprzężenie.

Zuza0612 pisze:Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się wiernym lub efektywnym; jest to równoważne temu, że wyłącznie element neutralny grupy stabilizuje zbiór.

To jest nie tak. Pomieszanie definicji.

Winowajcą był prawdopodobnie artykuł na Wikipedii. Sam ostatnio miałem przez to problem i zastanawiałem się, jak wykazać równoważność, której nie ma. Poprawiłem to dla potomności.

Lekcja z tego taka: wierne działanie grupy nie musi być tranzytywne (przechodnie) i na odwrót- przechodniość nie implikuje efektywności