Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{x-2y}{1+ 4x^2 + 9y^2}}\)

\(\displaystyle{ (x,y) \in R^2}\)


Musze znaleźć kresy tej funkcji. Badając na jakiej prostej za bardzo mi nie wychodzi, bo x i y nieograniczone z kazdej strony. Miałem pomysł, żeby ograniczyć to do jakiegoś zbioru np okręgu tak, żebym wiedział, ze poza nim na pewno funkcja nie osiagnie swoich kresów i wtedy z mnożników lagranga policzyć kres. Jakieś porady?

Wprowadźmy następującą parametryzację:
\(\displaystyle{ x=frac 1 2 r cos heta,\ \ y=frac 1 3 r sin heta,\ \ rge 0,\ \ heta in [0,2pi)}\)

Otrzymujemy funkcję
\(\displaystyle{ g(r, \theta)= \frac{\frac 1 2 r \cos \theta-\frac 2 3 r \sin \theta}{1+r^2}}\)
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \frac 1 2 \cos \theta-\frac 2 3\sin \theta= \frac{5}{6}\left( \frac{3}{5}\cos \theta- \frac{4}{5}\sin \theta \right)=\frac 5 6 \sin\left( \alpha-\theta\right)}\)
dla \(\displaystyle{ \alpha=\arctan \frac 3 4}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{r}{1+r^2} \le \frac 1 2}\), równość mamy dla \(\displaystyle{ r=1}\)
i manipulując wartościami \(\displaystyle{ \theta}\), dostajemy
maksimum równe \(\displaystyle{ \frac{5}{6}\cdot \frac 1 2= \frac{5}{12}}\)
oraz minimum równe \(\displaystyle{ - \frac{5}{12}}\)
co potwierdza zresztą wolfram.
Pewnie da się sprytniej, ale coraz bardziej przekonuję się, że spryt jest raczej wrodzony, a nie nabyty, więc nawet nie próbuję.