Matematyka.pl

Witam serdecznie, na wstępie chciałbym przeprosić, jeżeli umieściłem post w złym dziale. Potrzebuję bardzo pomocy w 3 zadaniach. Nie mam pojęcia jak je zrobić, a od nich zależy czy zaliczę ten semestr z fizyki, bardzo proszę jakąś dobrą duszę o rozwiązanie dla mnie tych zadań bądź nakierowanie mnie jak to zrobić.
1. Udowodnić, że środek masy trójkąta o niewielkiej grubości znajduje się w punkcie przecięcia
się środkowych tego trójkąta.
2.Jaki jest moment bezwładności kuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\) z materiału 0 gęstości \(\displaystyle{ Q}\) dla osi przechodzącej przez środek kuli?
3. Cienka płytka prostokątna o krawędziach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) może wahać się wokół osi równoległej do
krawędzi a i leżącej w płaszczyźnie płytki. a) Jaki jest okres wahań, jeżeli oś przebiega
wzdłuż górnej krawędzi a płytki? b) Przy jakiej odległości osi od środka masy płytki okres
jest najmniejszy i ile wynosi?

-- 1 lut 2017, o 17:05 --

Proszę chociaż o zadanie numer 3.

1.Wycinamy elementarny pasek o minimalnej grubości-masę.
2.Masa elementarna = elementarnej powierzchni
\(\displaystyle{ \Delta my=by \cdot dy}\)
3. Szerokość \(\displaystyle{ "by"}\) wyrazimy przy pomocy wymiaru \(\displaystyle{ a, h}\)
z proporcji;
\(\displaystyle{ \frac{by}{a}= \frac{h-y}{h} \Rightarrow by=a \cdot \frac{h-y}{h}}\)
4. \(\displaystyle{ \Delta my=by \cdot dy =a \cdot \frac{h-y}{h} \cdot dy}\)
5. Środek masy \(\displaystyle{ ys}\)

\(\displaystyle{ y _{s}= \frac{\Sigma \Delta my}{\Sigma \Delta m}}\)
6. Elementarne sumy zastąpimy całkami - w granicach całk. 0 do h:

\(\displaystyle{ y _{s} = \frac{\int\limits_{0}^{h} y dm}{\int\limits_{0}^{h}dm}= \frac{ \int\limits_{0}^{h} \frac{h-y}{h} \cdot a \cdot y dy}{\int\limits_{0}^{h}\frac{h-y}{h} \cdot a \cdot dy}=
\left[ \frac{h \cdot \frac{y ^{2} }{2}- \frac{y ^{3} }{3} }{h \cdot y- \frac{y ^{2} }{2} }\right ]^{h} = \frac{ \frac{h ^{3} }{2}- \frac{h ^{3} }{3} }{h ^{2}- \frac{h ^{2} }{2} }= \frac{1}{3} \cdot h}\)
7.Środek masy znajduje się w licząc od podstawy trójkąta w odległości \(\displaystyle{ 1/3 h}\)wysokości trójkąta.

Bardzo Ci dziękuje, czy byłbyś w stanie przedstawić tak też zadanie nr 3?

Zauważmy, że prostokąty o podstawie równoległej do podstawy trójkąta, długości równej odległości między ramionami trójkąta na wysokości na której się znajdują i szerokości bliskiej zeru mają swoje środki w połowie swoich długości. Stąd wniosek, że środki ich przynależą do prostej wyznaczonej punktami \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\), która jest jedną ze środkowych trójkąta.
Wykonując konstrukcję względem drugiego boku trójkąta i wyprowadzamy podobny wniosek, że środki
prostokątów tworzących trójkąt przynależą do drugiej środkowej, zatem wspólny punkt obu tych środkowych jest punktem środka ciężkości pola trójkąta.
O tym, że trzecia środkowa spełniająca warunki pierwszych dwu co do położenia na niej środków prostokątów przecina pozostałe dwie w tym samym punkcie jest twierdzenie o środkowych trójkąta, że przecinają się one w jednym punkcie.
W zadaniu nie ma postawionego pytania o jego położenie względem boków trójkąta, zatem takie objaśnienie wystarcza za odpowiedź na postawione pytanie.

Bardzo proszę również o zadanie 3 jesli jest taka możliwość.

Zad.3. Doradzam analizę wykładu pomieszczonego w podręczniku;
Jerzy Leyko. Mechanika Ogólna.T.II,Wyd.PWN-Wa-Wa, 1969. Rozdz. XI . Wahadło fizyczne.

Czy mógłby ktoś dla mnie rozwiązać to 3 zadanie, pomimo przeczytania nadal nie wiem jak je zrobić

Np. tu:
411387.htm?hilit=pr%C4%99t,%20wahad%C5%82o
ale można znaleźć i inne w matematyka.pl

Płytkę można potraktować jak ciąg takich prętów wiszących obok siebie na jednej (wspólnej) osi złączonych ze sobą.

Zadania potrzebuje na jutro, chociaż podpunkt b, a ja nadal nie kumam, resztę dałem radę, ale to 3 ciężko, mógłby ktoś je dla mnie rozwiązać? Bardzo proszę

Proszę popatrzeć na ten problem tak:
Otoczenie płytki, ośrodek w którym się waha wokół osi nie stawia oporów dla ruchu.
Okres drgań pręta o masie płytki wahającego się wokół osi na jego górnym końcu :
\(\displaystyle{ T= 2 \pi \cdot \sqrt{ \frac{J_z}{mgl_s} }= 2 \pi \sqrt \frac{l_{red}}{g}}}\)

Długość zredukowana wahadła \(\displaystyle{ l_{red}= l_s + \frac{J_{z_S_M}}{m \cdot l_s}}\)
zaś \(\displaystyle{ l_s}\) odległością osi obrotu (wahań) od środka masy wahadła, a \(\displaystyle{ J_{z_S_M}}\) momentem bezwładności tego pęta względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy pręta (centralnej osi bezwładności)

Poszukujemy minimum funkcji : \(\displaystyle{ T= 2 \pi \sqrt{ \frac{l_{red}}{g} }}\) pod postacią znaną z analizy: \(\displaystyle{ y= \frac{2 \pi \sqrt{g} }{g} \cdot \sqrt{x}}\), czyli takich \(\displaystyle{ x \ i \ y}\) dla których \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} =0}\)
Znając wartość argumentu , tu \(\displaystyle{ l_{red}}\) z wzoru : \(\displaystyle{ l_{red}= l_s + \frac{J_{z_S_M}}{m \cdot l_s}}\) obliczymy odległość \(\displaystyle{ l_s}\) osi od środka masy (ciężkości) pręta zastępującego nam płytkę aby ułatwić obliczenie i objaśnienia.
W.Kr.

Płytkę traktujemy jako wahadło fizyczne, obracające się wokół poziomej osi \(\displaystyle{ x}\), która znajduje się na krawędzi boku płytki \(\displaystyle{ a}\). Wysokość płytki jest równa \(\displaystyle{ b}\). Środek masy płytki znajduje w p. C(0,5a, 0,5b)
............................................................................
I.1.Okres wahań wzgl. osi przechodzącej przez górną krawędź \(\displaystyle{ a}\) płytki.
\(\displaystyle{ T=2 \pi \sqrt{ \frac{l _{zr} }{g} }=2 \pi \sqrt{ \frac{J _{x} }{mg \cdot s} }}\), (1)
Gdzie długość zredukowana \(\displaystyle{ l _{zr}}\):
\(\displaystyle{ l _{zr}= \frac{J _{x} }{m \cdot s}}\), (2)
Gdzie:
\(\displaystyle{ J _{x}}\)- moment bezwładności wzgl. osi obrotu!!!
\(\displaystyle{ s=0,5b}\)- odległość środka masy wahadła(p.C) od osi obrotu.
2. Obliczenie momentu bezwładności, wzgl. osi obrotu \(\displaystyle{ x(J _{x})}\). Oś obrotu równoległa do osi \(\displaystyle{ x _{c}}\)- oś przechodząca przez środek ciężkości płytki;
\(\displaystyle{ J _{x}=J _{xc}+m \cdot s ^{2}= \frac{m \cdot b ^{2} }{12}+ \frac{mb ^{2} }{4}= \frac{mb ^{2} }{3}}\), (3)
{Zast.tw.Steinera. Moment \(\displaystyle{ J _{xc}}\) moment bezwład. wzgl. środka masy płytki p.C.}
3. Ostatecznie okres wahań płytki:
\(\displaystyle{ T=2 \pi \sqrt{ \frac{J _{x} }{mg \cdot s} }}\), (4)
Po podst.danych otrzymujemy okres wahań płytki:
\(\displaystyle{ T=2 \pi \sqrt{ \frac{2b}{3g} }}\)
................................
II. Zagadnienie minimalnego okresu wahań płytki.
Wykorzystując pojęcie promienia bezwładności \(\displaystyle{ i _{c}}\), przepis na moment bezwładności przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ J _{x}=J _{xc}+m \cdot s ^{2}}\)
\(\displaystyle{ i ^{2} _{xc}= \frac{J _{xc}}{m} \Rightarrow J _{xc}= {i ^{2} _{xc}} \cdot {m}}\), (5)
\(\displaystyle{ J _{x}=m(s ^{2}+i ^{2} _{xc})}\), (6)
Teraz równanie (4)na okres wahań możemy napisać w postaci:
\(\displaystyle{ T=2 \pi \sqrt{ \frac{i ^{2} _{c}+s ^{2} }{g \cdot s} }}\), (7)
Znajdujemy minimum wyrażenia pod pierwiastkiem, obl. pochodną wzgl. zmiennej \(\displaystyle{ s}\) i przyrównujemy ją do zera:
\(\displaystyle{ (\frac{i ^{2} _{c}+s ^{2} }{g \cdot s})'= \frac{s ^{2} -i ^{2} _{c} }{gs ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{s ^{2} -i ^{2} _{c} }{gs ^{2} }=0}\)
{Liczymy pochodną z ilorazu}
Stad znajdujemy zależność:
\(\displaystyle{ s= \pm i _{c}}\), (8)
Dla osi obrotu oddalonej od środka ciężkości płytki o wartość \(\displaystyle{ s=i _{c}}\), okres wahań płytki osiąga minimum, co daje;
\(\displaystyle{ T _{min}=2 \pi \sqrt{ \frac{2 \cdot i _{c} }{g} }}\)

Świetne!
Ale kliknąć "na zielone" za gotowca ratującego semestr już nie ma komu.
Z ukłonami,
W.Kr.