Równanie z symbolami Newtona

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kkkrystekkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie z symbolami Newtona

Post autor: kkkrystekkk » 13 wrz 2007, o 20:03

A więc moim zadaniem jest udowodnić, że:

\(\displaystyle{ {n+1\choose k+1} = {n\choose k+1} + {n\choose k}}\)

I zrobiłem tak:


\(\displaystyle{ {n+1\choose k+1} = \frac{(n+1)}{(k+1)! * (n+1-k-1)} = \frac{(n+1)!}{(k+1)! * (n-k)}}\)

\(\displaystyle{ {n\choose k+1} + {n\choose k} = \frac{n!}{(k+1)! * (n-k-1)!} + \frac{(n+1)!}{(k+1)! * (n-k)!}}\)

i nie wiem co dalej.. chyba coś zepsułem :/
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

Równanie z symbolami Newtona

Post autor: jasny » 13 wrz 2007, o 20:37

\(\displaystyle{ {n\choose{k+1}}+{n\choose k}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}=}\) \(\displaystyle{ =\frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!}+\frac{n!}{k!(n-k-1)!(n-k)}=}\) \(\displaystyle{ =\frac{n!(n-k)+n!(k+1)}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)}= \frac{n!(n+1)}{(k+1)!(n-k)!}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-(k+1))!}={{n+1}\choose{k+1}}}\)
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2007, o 21:08 przez jasny, łącznie zmieniany 1 raz.

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

Równanie z symbolami Newtona

Post autor: wb » 13 wrz 2007, o 20:43

\(\displaystyle{ {n \choose k+1}+{n \choose k}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}= \\ =\frac{n!}{k!(n-k-1)!}(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{n-k})=\frac{n!}{k!(n-k-1)!}\frac{n-k+k+1}{(k+1)(n-k)}=\frac{n!}{k!(n-k-1)!}\frac{n+1}{(k+1)(n-k)}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}={n+1 \choose k+1}}\)

Awatar użytkownika
n0need
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 15 mar 2006, o 10:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

Równanie z symbolami Newtona

Post autor: n0need » 13 wrz 2007, o 20:53

Przepraszam, ale możecie co nieco objaśnić?
Jasny, jak to zrobiłeś, że z dodawania dwóch ułamków o różnych mianownikach, zrobiłeś jeden ułamek?

Wb, a ty z jakich praw matematycznych korzystasz zmieniając dodawanie na mnożenie?
Proszę o wytłumaczenie, bo naprawdę się gubię teraz ;(

kkkrystekkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie z symbolami Newtona

Post autor: kkkrystekkk » 13 wrz 2007, o 20:54

jasny pisze:\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!}+\frac{n!}{k!(n-k-1)!(n-k)}=}\) \(\displaystyle{ =\frac{n!(n-k)+n!(k+1)}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)}}\)
Mógłbyś mi jeszcze wyjaśnić jak to połączyłeś nie mając wspólnego mianownika, bo niezbyt rozumiem.

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

Równanie z symbolami Newtona

Post autor: jasny » 13 wrz 2007, o 21:08

Tam gdzie w liczniku jest +, rozbij na dwa ułamki, i wtedy zobaczysz. (pierwszy ułamek rozszerzyłem przez (n-k), drugi przez (k+1), i już jest wspólny mianownik)

kkkrystekkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie z symbolami Newtona

Post autor: kkkrystekkk » 13 wrz 2007, o 21:20

Dziękuję w swoim i kolegi imieniu

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

Równanie z symbolami Newtona

Post autor: wb » 13 wrz 2007, o 22:15

Wyłączyłem wspólny czynnik przed nawias.

ODPOWIEDZ