Całka oznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
bombel87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław
Podziękował: 9 razy

Całka oznaczona

Post autor: bombel87 » 13 wrz 2007, o 19:06

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^2+4x+9}}}\)
Prosze o opowiedz. Pozdro4all

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

Całka oznaczona

Post autor: florek177 » 13 wrz 2007, o 19:14

nieskończoność

bombel87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław
Podziękował: 9 razy

Całka oznaczona

Post autor: bombel87 » 13 wrz 2007, o 19:16

Chodziło mi ogólnie o całe rozwiązanie

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Całka oznaczona

Post autor: max » 13 wrz 2007, o 19:30

Przekształć trójmian w mianowniku do postaci \(\displaystyle{ (x + 2)^{2} + 5}\), podstaw \(\displaystyle{ \sqrt{5}\sinh t = x + 2}\) i masz całkę nieoznaczoną \(\displaystyle{ \ln\left(x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}\right)}\). Dalej wystarczy skorzystać z definicji całki niewłaściwej w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, + )}\).

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Całka oznaczona

Post autor: przemk20 » 13 wrz 2007, o 19:47

albo jak nie lubisz funkcji hiperbolicznych to
\(\displaystyle{ \sqrt{5} \tan t = x+2}\)

bombel87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław
Podziękował: 9 razy

Całka oznaczona

Post autor: bombel87 » 13 wrz 2007, o 20:08

Mógłby mi ktoś to napisać krok po kroku bo mi nie wychodzi...

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Całka oznaczona

Post autor: max » 14 wrz 2007, o 17:09

Przykładowe rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^{2} + 4x + 9}} = t \frac{\sqrt{5}dx}{(x + 2)^{2} + 5}}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ \sqrt{5}\sinh t = x + 2}\), wtedy \(\displaystyle{ dx = \sqrt{5}\cosh t \, dt}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{(x + 2)^{2} + 5}} = t \frac{5\cosh t \, dt}{\sqrt{5\sinh^{2} t + 5}} = t\frac{5\cosh t \, dt}{\sqrt{5\cosh^{2} t}} =\\
= t \sqrt{5}dt = \sqrt{5}t + C = \sqrt{5}\mbox{ arsinh }\frac{x + 2}{\sqrt{5}} + C = \\
=\sqrt{5}\ln\left(\frac{x + 2}{\sqrt{5}} + \sqrt{\left(\frac{x + 2}{\sqrt{5}}\right)^{2} + 1}\right) + C =\\
= \sqrt{5}\ln (x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}) + C^{*}}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^{2} + 4x + 9}} = \lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}}\int\limits_{y}^{x} \frac{\sqrt{5}dx}{\sqrt{x^{2} + 4x + 9}} =\\
=\lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}}\sqrt{5}\left(\ln (x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}) - \ln (y + 2 + \sqrt{y^{2} + 4y + 9})\right) = \\
= \lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}} \sqrt{5}\ln ft(\frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}}{y + 2 + \sqrt{y^{2} + 4y + 9}}\right) =\\
= \lim_{\substack{x\to +\infty\\ y\to -\infty}} \sqrt{5}\ln ft(\frac{\left(x + 2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 9}\right)\left(\sqrt{y^{2} + 4y + 9} - y - 2\right)}{5}\right) = +\infty}\)

bombel87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 00:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław
Podziękował: 9 razy

Całka oznaczona

Post autor: bombel87 » 14 wrz 2007, o 17:16

Thx,teraz rozumiem co i jak

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka oznaczona

Post autor: luka52 » 14 wrz 2007, o 17:31

Ew. można skorzystać z kryterium porównawczego z np. \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{5 \, }{\sqrt{1+x^2}}}\) - przynajmniej nie trzeba się bawić w rachunki.
(No chyba, że należało zbadać zbieżność z def., ale o tym nigdzie nie jest napisane)

ODPOWIEDZ