Nieskończony ciąg (an).

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
dawido000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 278
Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

Nieskończony ciąg (an).

Post autor: dawido000 » 13 wrz 2007, o 18:25

Nieskończony ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest określony wzorem:
\(\displaystyle{ a_{n}=4n-31, n=1,2,3,....}\)
Wyrazy \(\displaystyle{ a_{k},a_{k+1},a_{k+2}}\) danego ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) wzięte w takim porządku, powiększono. \(\displaystyle{ a_{k}}\) o 1, wyraz \(\displaystyle{ a_{k+1}}\) o 3 oraz wyraz \(\displaystyle{ a_{k+2}}\) o 23. W ten sposób otrzymano 3 pierwsze wyrazy pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz k oraz czwarty wyraz tego ciągu geometrycznego.

Awatar użytkownika
Jestemfajny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 lis 2006, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: AGH
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 36 razy

Nieskończony ciąg (an).

Post autor: Jestemfajny » 14 wrz 2007, o 14:12

No to tak:
Jeśli ma to byc to ciąg geometryczny to zachodzi równośc:
\(\displaystyle{ \frac{a_{k+1}+3}{a_{k}+1}= \frac{a_{k+2}+23} {a_{k+1}+3}-> \\
\frac{4(k+1)-28}{4k-30}=\frac{4(k+2)-8}{4(k+1)-28}}\)

z tego sobie liczymy k(mnożymy na krzyż a potem redukujemy) k=8,
Ciąg gemotryczny niech będzie \(\displaystyle{ b_{n}}\)
Teraz sobie liczymy 3 pierwsze wyrazy czyli za k wstawiamy 8 do kolejno:
\(\displaystyle{ b_{1}=a_{k}+1=a_{8}+1=4*8-30=2\\
b_{2}=a_{k+1}+3=a_{9}+3=4*9-28=8\\
b_{3}=a_{k+2}+23=a_{10}+23=4*10-8=32\\}\)

widzimy że iloraz ciągu wynosi 4 więc czwarty wyraz będzie równy:\(\displaystyle{ b_{4}=a_{11}=4*a_{10}=4*32=128}\)
Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ