Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego

Post autor: sparrow_88 » 13 wrz 2007, o 17:18

\(\displaystyle{ \int\sqrt{3x^2+10x+9}dx}\) kombinuje tak:
\(\displaystyle{ \int\frac{3x^2+10x+9}{\sqrt{3x^2+10x+9}}dx}\) wiem również że, licznik można zapisać tak: \(\displaystyle{ 3x^2+10x+9=\frac{1}{12}(6x+10)^2+\frac{2}{3}}\)
otrzymać musze coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}(3x+5)\sqrt{3x^2+10x+9}+\frac{1}{9}\sqrt{3}ln(3x+5+\sqrt{3(3x^2+10x+9)})+C}\) i z tym trochę problemu jest ??: potrzebuję w takim razie jakiegoś spostrzegawczego naprowadzenia, zresztą tak jak zawsze
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego

Post autor: max » 13 wrz 2007, o 18:55

Możesz sprowadzić trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej, dalej zastosować podstawienie hiperboliczne, lub nawet trygonometryczne. Ewentualnie możesz skorzystać z pierwszego lub drugiego podstawienia Eulera.

Można też tak:
\(\displaystyle{ I = t \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, = t \frac{3x^{2} + 10x + 9}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}\, = \\
= t \frac{x(6x + 10)\, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} + \frac{10}{6}\int \frac{6x + 10 \, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} +\frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} =\\
= ft(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - t \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, + \frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)

i dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ I = ft(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - I + \frac{4}{6}I_{1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I_{1} = t \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
tę ostatnią całkę można obliczyć przekształcając trójmian do postaci kanonicznej i przez podstawienie sprowadzając do postaci:
\(\displaystyle{ A\cdot t \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{t^{2} + 1}} = A\cdot \ln ft(t + \sqrt{t^{2} + 1}\right)}\)

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego

Post autor: przemk20 » 13 wrz 2007, o 19:39

albo mozna tez tak:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{3x^2 +10x+9} dx = \frac{\sqrt{6}}{3} t \sqrt{\frac{1}{8}(6x+10)^2 + 1} dx \\
\frac{1}{8}(6x+10)^2 = ( \frac{\sqrt{2} }{4}(6x+10))^2 = \tan^2 t \\
\frac{dt}{\cos^2 t} = \frac{3}{2} \sqrt{2} dx, \ \ zas \\
t \sqrt{\tan^2 t+1} \frac{dt}{\cos^2 t} = t \frac{dt}{\cos^3 t}= t \frac{\cos t dt}{ (1-\sin^2 t)^2} \\
\sin t = u, \ \ \cos t dt = du \\
t \frac{du}{(1-u^2)^2} = .........\\}\)


Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego

Post autor: sparrow_88 » 14 wrz 2007, o 13:21

max pisze: Można też tak:
\(\displaystyle{ I = t \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, = t \frac{3x^{2} + 10x + 9}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}\, = \\
= t \frac{x(6x + 10)\, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} + \frac{10}{6}\int \frac{6x + 10 \, }{2\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} +\frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}} =\\
= ft(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - t \sqrt{3x^{2} + 10x + 9}\, + \frac{4}{6}\int \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)

i dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ I = ft(x + \frac{10}{6}\right)\sqrt{3x^{2} + 10x + 9} - I + \frac{4}{6}I_{1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I_{1} = t \frac{\mbox{d}x}{\sqrt{3x^{2} + 10x + 9}}}\)
tę ostatnią całkę można obliczyć przekształcając trójmian do postaci kanonicznej i przez podstawienie sprowadzając do postaci:
\(\displaystyle{ A\cdot t \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{t^{2} + 1}} = A\cdot \ln ft(t + \sqrt{t^{2} + 1}\right)}\)
niestety mam pytanie co do trzeciej linijki Twojego kodu tex: skąd to się wzięło (oczywiście bez końcówki) resztą już wiem jak się zająć, co do ostatniej całki to za pomocą podstawienia Eulera nie jest wcale tak trudno więc też sobie poradzę
dxianks przemek20 za naprowadzenie, ale podstawień trygonometrycznych wolę unikać, już raz nie zdołałem wrócić do zmiennej x

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego

Post autor: max » 14 wrz 2007, o 13:29

sparrow_88 pisze:niestety mam pytanie co do trzeciej linijki Twojego kodu tex: skąd to się wzięło (oczywiście bez końcówki)
Pierwsza całka z drugiej linijki została potraktowana wzorem na całkowanie przez części (zróżniczkowałem \(\displaystyle{ x}\), scałkowałem resztę), a druga całka z drugiej linijki - podstawieniem \(\displaystyle{ t = 3x^{2} + 10 + 9}\).

Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka: pierwiastek z trójmianu kwadratowego

Post autor: sparrow_88 » 14 wrz 2007, o 13:42

chyba podstawiłeś \(\displaystyle{ t^2=3x^2+10x+9}\) ale to już wiem, dxianks za wszystko

ODPOWIEDZ