pole równoległoboku/rombu

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
trucizna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 13 lip 2007, o 20:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sosnowiec

pole równoległoboku/rombu

Post autor: trucizna » 13 wrz 2007, o 16:06

Zad1
Bok kwadratu ABCD ma długość a.
Na przeciwległych bokach AB i CD zbudowano trójkąty równoboczne, leżące wewnatrz kwadratu. Oblicz pole części wspólnej tych trójkątów.

Zad2
W romb, którego bok ma długość 5 cm, a kąt ostry ma miarę 60 stopni, wpisano okrąg. Oblicz pole czworokąta otrzymanego prez połączenie kolejnych punktów styczności tego okręgu z bokami rombu.

Zad3
Okrąg przechodzący przez wierzchołek kąta ostrego rombu i wierzchołki kątów rozwartych tego rombu dzieli przekątną rombu na dwa odcinki długości 17 i 8 cm. Oblicz pole rombu.

Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

pole równoległoboku/rombu

Post autor: sparrow_88 » 14 wrz 2007, o 14:18

1)
najpierw obliczmy długość wysokości trójkąta równobocznego: \(\displaystyle{ h=\frac{\sqrt{3}}{2}a}\)
długość dłuższej przekątnej powstałego równoległoboku (część wspólna dwóch trójkątów) oznaczmy jako \(\displaystyle{ r}\) wiemy, że \(\displaystyle{ a=h+h-r}\) z tego wynika: \(\displaystyle{ r=a(\sqrt{3}-1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{2}}\) jest wysokością trójkąta prostokątnego który jest jednocześnie ćwiartką równoległoboku, kąty tego trójkąta to \(\displaystyle{ 30^o}\) \(\displaystyle{ 60^o}\) \(\displaystyle{ 90^o}\)
z funkcji trygonometrycznych obliczymy długość podstawy omawianego trójkąta, oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ b}\) \(\displaystyle{ tg60^o=\frac{\frac{r}{2}}{b}=>b=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{6}}\)
pole jednej czwartej równoległoboku jest równe polu trójkąta prostokątnego: \(\displaystyle{ P=\frac{b\frac{r}{2}}{2}=\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{6}\cdot\frac{a(\sqrt{3}-1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)^2}{24}}\)
zatem pole szukanej części wspólnej jest równe \(\displaystyle{ 4P=\frac{a^2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)^2}{4}}\)
wg mnie

Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

pole równoległoboku/rombu

Post autor: Vixy » 14 wrz 2007, o 15:17

Zad 2



oblicze wyskosc rombu -h

\(\displaystyle{ sin60=\frac{h}{5}}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{5}{2}\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ h=2r}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{5}{4}\sqrt{3}}\)




\(\displaystyle{ d=a\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{2}\sqrt{3}=a\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{5}{4}\sqrt{6}}\)


juz poprawilam zeby w blad nie wprowadzic
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2007, o 16:57 przez Vixy, łącznie zmieniany 1 raz.

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

pole równoległoboku/rombu

Post autor: florek177 » 14 wrz 2007, o 16:20

[quote="smerfetka18"]Zad 2





otrzymany czworokat jest kwadratem , poniewaz przekatne sa tej samej długosci oraz katy maja 90 stopni - sa stycznymi..


Zły wniosek. Punkty styczności okręgu przy kątach rozwartych są blisko siebie, a kątach ostrych - oddalone. Mamy prostokąt.

Wysokość rombu jest przekątną prostokąta. jeden bok obliczymy z proporcji trójkątów podobnych, drugi z pitagorasa. Trzeba też obliczyć przekątne rombu.

b = 5/4 * √3 ; c = 15/4 P = b * c.

ODPOWIEDZ