Prostokąt wpisany w trójkąt.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
alien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubcza
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2 razy

Prostokąt wpisany w trójkąt.

Post autor: alien » 13 wrz 2007, o 15:58

Takie ciekawe zadanko: W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a=12cm i wysokości h=18cm. W trójkąt ten wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokata leżą na podtsawie a, po jednym na każdym ramieniu trójkąta, a przekątne prostokąta są odpowiednio równoległe do ramion trójkąta. oblicz długości boków prostokąta.

Nie mam najmniejszego pojęcia ja zacząć nawet:P Proszę o jakieś wskazówki;>
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

Prostokąt wpisany w trójkąt.

Post autor: florek177 » 13 wrz 2007, o 18:45

a = 12; h = 18; b, c - boki prostokąta; d - jego przekątna.

\(\displaystyle{ \frac{h}{h - c} = \frac{a}{b}\,\}\) ; \(\displaystyle{ b^{2} + c^{2} = d^{2} \,\}\) ; \(\displaystyle{ c^{2} + (\frac{a}{2}- \frac{b}{2} )^{2} = d^{2}}\)

odp ( 4, 12 )

alien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubcza
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2 razy

Prostokąt wpisany w trójkąt.

Post autor: alien » 13 wrz 2007, o 19:14

Jeśli nie sprawi Ci to problemu to mógłbyś mi napisać jak do tego doszedłeś?

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

Prostokąt wpisany w trójkąt.

Post autor: florek177 » 13 wrz 2007, o 19:19

zrób rysunek i oznaczenia jak podałem. Masz jedną proporcję ( trójkąty podobne ) i dwa pitagorasy ( drugi wynika z zadania, że przekątna prostokąta jest równoległa do ramienia.

alien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubcza
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2 razy

Prostokąt wpisany w trójkąt.

Post autor: alien » 13 wrz 2007, o 19:43

No, zrobiłem piękny wymiarowy rysunek, ale nie wiem jak zrobić te układy równań? Trójkąty podobne, ale co mi to daje, znaczy wiem co, tylko nie wiem jak to zapisać, Bo wysokośc tych dwóch mniejszych trójkątów będzie dłuższymi bokami tego prostokąta... Ale jak to zapisać, to nie mam zielonego pojęcia.

Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

Prostokąt wpisany w trójkąt.

Post autor: Vixy » 13 wrz 2007, o 22:47

x-dłuzysz bok prostokata
y-krótszy bok prostokata
d-przekatna


\(\displaystyle{ d^2=x^2+y^2}\)

ramie z tw. pitagorasa wynosi \(\displaystyle{ 6\sqrt{10}}\)



korzystam z warunku podobienstwa trójkatow


\(\displaystyle{ \frac{18}{6}=\frac{y}{0,5*(12-x)}}\)
\(\displaystyle{ 108-9x=6y}\)


\(\displaystyle{ \fracP6\sqrt{10}}{6}=\frac{d}{x}}\)
\(\displaystyle{ d=\sqrt{10}x}\)


teraz kwestia obliczen

ODPOWIEDZ