Matematyka.pl

Cześć
Jaka jest moc zbioru \(\displaystyle{ 2^\mathbb{N}}\)? Jasne, continuum. Tylko, teraz mnie wzięła taka wątpliwość dość łatwo wskazać intuicyjnie bijekcję:
0 -> 0.........00
1 -> 0.........01
2 -> 0........010
3 -> 0.......011
....

Właśnie. Formalnie bijekcję już ciężko podać ( bo w gruncie rzeczy się nie da). Ponieważ ja argumentuję intuicyjnie proszę również o argument intuicyjny, bo dowód, że jest ich istotnie continuum widziałem.

tukanik pisze:0 -> 0.........00
1 -> 0.........01
2 -> 0........010
3 -> 0.......011
....

Po prawej stronie są ciągi skończone? Bo wygląda, że mają początek i koniec, a przecież nie mogą mieć nieskończenie wiele wyrazów w środku.

Tak czy owak, przypuszczalnie skonstruujesz funkcję, w której zbiorze wartości będą tylko ciągi mające \(\displaystyle{ 0}\) na prawie każdej pozycji (czyli mające skończenie wiele jedynek). A takich jest przeliczalnie wiele, trudność polega na tym, żeby uwzględnić również te mające nieskończenie wiele jedynek.

Metoda przekątniowa Cantora dobrze to pokazuje intuicyjnie, również dla nieskończonych ciągów zero-jedynkowych. Natomiast zbiór wszystkich skończonych ciągów o wartościach w zbiorze co najwyżej przeliczalnym jest już przeliczalny.