Matematyka.pl

Mam prostą i znam jej równanie.
Mam też współrzędne punktu leżącego na tej prostej.
Czy jestem w stanie na podstawie tych informacji policzyć współrzędne dowolnego punktu leżącego na tej prostej w danej odległości od punktu, którego współrzędne znam?

Tak, wystarczy skorzystać ze wzoru na długość odcinka.

W jaki sposób jeśli mam tylko jeden punkt?

Jeżeli szukasz punktu, który należy do prostej \(\displaystyle{ y=ax+b}\), to współrzędne tego punktu można zapisać w taki sposób: \(\displaystyle{ B=(x,y)=(x,ax+b)}\).

Problem w tym, że nie znam żadnej współrzędnej szukanego punktu. Jedyne co wiem to odległość tego punktu na linii od punktu, którego znam współrzędne. Znam też równanie prostej.
Załóżmy, że mam wzór \(\displaystyle{ f(x)=3x+5}\) i punkt \(\displaystyle{ A=(1;8)}\). Chce znaleźć współrzędne punktu leżącego na tej prostej o 3 jednostki oddalonego od punktu A. Zarówno w jedną i drugą stronę.

No to stosujesz moją wskazówkę, wzbogaconą o informację kolegi TheBill. W Twoim przykładzie to będzie następująco :

\(\displaystyle{ \sqrt{\left( x_{B}-x_{A}\right)^2 + \left( y_{B}-y_{A} \right)^2 } = 3}\)

Gdzie współrzędne \(\displaystyle{ x_{A} , y_{A}}\) znasz, a za \(\displaystyle{ y_{B}}\) podstawiasz \(\displaystyle{ 3x_{B}+5}\), znając równanie prostej na której leży ten punkt. Otrzymasz równanie kwadratowe i powinny wyjść 2 takie punkty.