[MIX] Mix na lato
: 26 sty 2017, o 13:13
1. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą, zaś \(\displaystyle{ 1+ np}\) jest kwadratem liczby całkowitej. Udowodnić, że \(\displaystyle{ 1+n}\) jest sumą kwadratów \(\displaystyle{ p}\) liczb całkowitych.
2. Udowodnić istnienia nieskończonej ilości rozwiązań równania
\(\displaystyle{ 1+…+k = (k+1) +…+ (k+m)}\)
w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m.}\)
3. Czy istnieją \(\displaystyle{ \alpha, \beta , \gamma >0}\) takie że \(\displaystyle{ \alpha + \beta+ \gamma= \frac{\pi}{2}}\) oraz by liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{\tg(\alpha)} , \frac{1}{\tg(\beta)}, \frac{1}{\tg(\gamma)}}\) były całkowite ?
4. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 3x^3 - \lfloor x \rfloor =3.}\)
5. Udowodnić że jeśli ciągi arytmetyczne \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) mają wspólny wyraz, to mają ich nieskończenie wiele.
6. Czy liczba jedynkowa \(\displaystyle{ I_n =\frac{10^n-1}{9}}\) może być kwadratem liczby całkowitej \(\displaystyle{ m >1}\) ?
7. Wybieramy \(\displaystyle{ n}\) punktów wewnętrznych kwadratu. Punkty te łączymy między sobą i z wierzchołkami kwadratu tak, aby żadne dwa z tych odcinków nie przecinały się. Punkty łączymy dopóty, dopóki jest to możliwe. Ile odcinków zostanie poprowadzonych ? Zakładamy, że zbiór utworzony z wierzchołków kwadratu i wybranych punktów wewnętrznych nie zawiera trójek współliniowych.
M
8. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^{8} - 92x^6 +134x^4 - 28x^2 +1 =0.}\)
9. Udowodnić tożsamość
\(\displaystyle{ (x+y+z)^7 - (x^7 + y^7 +z^7) =\\ 7(x+y)(y+z)(x+z) ( (x^2+y^2+z^2 + xy+yz+xz)^2 + xyz(x+y+z) ).}\)
10. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6}+ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} +… =1.}\)
11. Rozwiązać układ kongruencji
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5x \equiv 2 \ (mod \ 6)\\ 3x \equiv 6 \ (mod \ 10). \end{cases}}\)
12. Czy jeśli iloczyny \(\displaystyle{ \prod_{n} (1+a_n)}\) i \(\displaystyle{ \prod_{n} (1+b_n)}\) są zbieżne, to zbieżne są też \(\displaystyle{ \prod_{n} (1+a_n)(1+b_n)}\) oraz \(\displaystyle{ \prod_{n} \frac{1+a_n}{1+b_n}}\) ?
13. Udowodnić że równania funkcyjne \(\displaystyle{ f(x+y)= f(x) + f(y)}\) i \(\displaystyle{ f(x+y +xy)= f(x) + f(y) + f(xy)}\)
są równoważne.
14. Jaka jest ostatnia cyfra \(\displaystyle{ F_{2017}}\) ? (ciąg Fibonacciego)
15. Udowodnić ze równanie \(\displaystyle{ \sqrt{2-x^2} + \sqrt[3]{3-x^3} = 0}\) nie ma rozwiązań.
16. Niech \(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ G_n}\) będą średnimi arytmetycznymi i geometrycznymi \(\displaystyle{ n}\) liczb:
\(\displaystyle{ a, a+b, …, a+(n-1)b}\); przy czym \(\displaystyle{ a,b >0}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim \frac{A_n}{G_n} = \frac{1}{2}e}\)
17. Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(x) = x - \frac{1}{x}}\) jest bijekcją \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\) i \(\displaystyle{ \RR.}\)
18. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}}}\) dla \(\displaystyle{ n >1.}\)
19. Ile co najmniej królów można /należy/ ustawić na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\), tak by każde pole było bite* przez jednego z nich ?
Czy odpowiedź zmieni się jeśli narożniki nie muszą bić bite ?
*tj. Król mógł wykonać jeden ruch na nie według reguł gry w szachy. Zakładamy też że pole, na którym stoi król również jest bite.
20. Czy istnieje macierz \(\displaystyle{ A}\) wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) oraz \(\displaystyle{ n>1}\) taka, że \(\displaystyle{ A^n = I}\) ?
To samo pytanie dla macierzy \(\displaystyle{ 3 \times 3.}\)
21. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z = xyz}\) to \(\displaystyle{ \frac{3x-x^3}{1-3x^2}+ \frac{3y-y^3}{1-3y^2}+ \frac{3z-z^3}{1-3z^2}= \frac{3x-x^3}{1-3x^2} \cdot \frac{3y-y^3}{1-3y^2} \cdot \frac{3z-z^3}{1-3z^2}.}\)
22.Udowodnić równoważnik dla trójkąta, którego długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego: \(\displaystyle{ p^2= 18Rr - 9r^2}\);
wyznaczyć jego odpowiednik dla ciągu geometrycznego.
23. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{98}+ 17x^{95} -3x}\) przez \(\displaystyle{ x^2+1.}\)
24. Grupa \(\displaystyle{ 2n}\) żołnierzy; każdy innego wzrostu; jest ustawiona w dwuszeregu tak, aby od lewej do prawej w każdym szeregu żołnierze stali według wzrostu, oraz by niższego żołnierza zawsze krył wyższy. Czy takie ustawienie istnieje i czy jest ono jedyne ?
25. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 … \cdot (3n+1)}{2 \cdot 5 \cdot 8 … \cdot (3n+2)}.}\)
26. Określone jest działanie \(\displaystyle{ \circ}\) w \(\displaystyle{ \RR}\):
i) \(\displaystyle{ a \circ b = b \circ a}\)
ii) \(\displaystyle{ (a \circ b) c = (ac) \circ (bc)}\)
iii) \(\displaystyle{ (a \circ b) + c = (a+c) \circ (b+c)}\)
gdy \(\displaystyle{ a,b, c \in \RR}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ 99 \circ 100.}\)
27. Udowodnić że nieparzysta liczba \(\displaystyle{ c}\) jest złożoną wtedy / i tylko wtedy/ gdy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ a}\) taka , że \(\displaystyle{ 3a \leq c -3}\) i \(\displaystyle{ (2a-1) ^2 +8c}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
28. Niech dany będzie ciąg \(\displaystyle{ 1, 2, 4, \ 3, 5, 7, \ 6, 8, 10, 12, \ 9, 11, 13, 15, 17, \ 14,…}\). Wyznaczyć jawny wzór \(\displaystyle{ a_n.}\)
29. Zanawiasować wyrażenie \(\displaystyle{ 1:2:3:4:5:6:7:8:9}\) tak aby było ono równe \(\displaystyle{ \frac{7}{10}.}\)
30. W zbiorze wszystkich łamanych na płaszczyźnie określa się odwzorowanie : Dowolnej łamanej \(\displaystyle{ l}\) przyporządkowuje się łamana \(\displaystyle{ f(l)}\) utworzona ze środków odcinków łamanej \(\displaystyle{ l}\); jeśli kolejne odcinki są równoległe to będą „sklejone”.
Czy \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe i czy jest „na” ?
2. Udowodnić istnienia nieskończonej ilości rozwiązań równania
\(\displaystyle{ 1+…+k = (k+1) +…+ (k+m)}\)
w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m.}\)
3. Czy istnieją \(\displaystyle{ \alpha, \beta , \gamma >0}\) takie że \(\displaystyle{ \alpha + \beta+ \gamma= \frac{\pi}{2}}\) oraz by liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{\tg(\alpha)} , \frac{1}{\tg(\beta)}, \frac{1}{\tg(\gamma)}}\) były całkowite ?
4. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 3x^3 - \lfloor x \rfloor =3.}\)
5. Udowodnić że jeśli ciągi arytmetyczne \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) mają wspólny wyraz, to mają ich nieskończenie wiele.
6. Czy liczba jedynkowa \(\displaystyle{ I_n =\frac{10^n-1}{9}}\) może być kwadratem liczby całkowitej \(\displaystyle{ m >1}\) ?
7. Wybieramy \(\displaystyle{ n}\) punktów wewnętrznych kwadratu. Punkty te łączymy między sobą i z wierzchołkami kwadratu tak, aby żadne dwa z tych odcinków nie przecinały się. Punkty łączymy dopóty, dopóki jest to możliwe. Ile odcinków zostanie poprowadzonych ? Zakładamy, że zbiór utworzony z wierzchołków kwadratu i wybranych punktów wewnętrznych nie zawiera trójek współliniowych.
M
8. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^{8} - 92x^6 +134x^4 - 28x^2 +1 =0.}\)
9. Udowodnić tożsamość
\(\displaystyle{ (x+y+z)^7 - (x^7 + y^7 +z^7) =\\ 7(x+y)(y+z)(x+z) ( (x^2+y^2+z^2 + xy+yz+xz)^2 + xyz(x+y+z) ).}\)
10. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6}+ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} +… =1.}\)
11. Rozwiązać układ kongruencji
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5x \equiv 2 \ (mod \ 6)\\ 3x \equiv 6 \ (mod \ 10). \end{cases}}\)
12. Czy jeśli iloczyny \(\displaystyle{ \prod_{n} (1+a_n)}\) i \(\displaystyle{ \prod_{n} (1+b_n)}\) są zbieżne, to zbieżne są też \(\displaystyle{ \prod_{n} (1+a_n)(1+b_n)}\) oraz \(\displaystyle{ \prod_{n} \frac{1+a_n}{1+b_n}}\) ?
13. Udowodnić że równania funkcyjne \(\displaystyle{ f(x+y)= f(x) + f(y)}\) i \(\displaystyle{ f(x+y +xy)= f(x) + f(y) + f(xy)}\)
są równoważne.
14. Jaka jest ostatnia cyfra \(\displaystyle{ F_{2017}}\) ? (ciąg Fibonacciego)
15. Udowodnić ze równanie \(\displaystyle{ \sqrt{2-x^2} + \sqrt[3]{3-x^3} = 0}\) nie ma rozwiązań.
16. Niech \(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ G_n}\) będą średnimi arytmetycznymi i geometrycznymi \(\displaystyle{ n}\) liczb:
\(\displaystyle{ a, a+b, …, a+(n-1)b}\); przy czym \(\displaystyle{ a,b >0}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim \frac{A_n}{G_n} = \frac{1}{2}e}\)
17. Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(x) = x - \frac{1}{x}}\) jest bijekcją \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\) i \(\displaystyle{ \RR.}\)
18. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}}}\) dla \(\displaystyle{ n >1.}\)
19. Ile co najmniej królów można /należy/ ustawić na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\), tak by każde pole było bite* przez jednego z nich ?
Czy odpowiedź zmieni się jeśli narożniki nie muszą bić bite ?
*tj. Król mógł wykonać jeden ruch na nie według reguł gry w szachy. Zakładamy też że pole, na którym stoi król również jest bite.
20. Czy istnieje macierz \(\displaystyle{ A}\) wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) oraz \(\displaystyle{ n>1}\) taka, że \(\displaystyle{ A^n = I}\) ?
To samo pytanie dla macierzy \(\displaystyle{ 3 \times 3.}\)
21. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z = xyz}\) to \(\displaystyle{ \frac{3x-x^3}{1-3x^2}+ \frac{3y-y^3}{1-3y^2}+ \frac{3z-z^3}{1-3z^2}= \frac{3x-x^3}{1-3x^2} \cdot \frac{3y-y^3}{1-3y^2} \cdot \frac{3z-z^3}{1-3z^2}.}\)
22.Udowodnić równoważnik dla trójkąta, którego długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego: \(\displaystyle{ p^2= 18Rr - 9r^2}\);
wyznaczyć jego odpowiednik dla ciągu geometrycznego.
23. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{98}+ 17x^{95} -3x}\) przez \(\displaystyle{ x^2+1.}\)
24. Grupa \(\displaystyle{ 2n}\) żołnierzy; każdy innego wzrostu; jest ustawiona w dwuszeregu tak, aby od lewej do prawej w każdym szeregu żołnierze stali według wzrostu, oraz by niższego żołnierza zawsze krył wyższy. Czy takie ustawienie istnieje i czy jest ono jedyne ?
25. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 … \cdot (3n+1)}{2 \cdot 5 \cdot 8 … \cdot (3n+2)}.}\)
26. Określone jest działanie \(\displaystyle{ \circ}\) w \(\displaystyle{ \RR}\):
i) \(\displaystyle{ a \circ b = b \circ a}\)
ii) \(\displaystyle{ (a \circ b) c = (ac) \circ (bc)}\)
iii) \(\displaystyle{ (a \circ b) + c = (a+c) \circ (b+c)}\)
gdy \(\displaystyle{ a,b, c \in \RR}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ 99 \circ 100.}\)
27. Udowodnić że nieparzysta liczba \(\displaystyle{ c}\) jest złożoną wtedy / i tylko wtedy/ gdy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ a}\) taka , że \(\displaystyle{ 3a \leq c -3}\) i \(\displaystyle{ (2a-1) ^2 +8c}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
28. Niech dany będzie ciąg \(\displaystyle{ 1, 2, 4, \ 3, 5, 7, \ 6, 8, 10, 12, \ 9, 11, 13, 15, 17, \ 14,…}\). Wyznaczyć jawny wzór \(\displaystyle{ a_n.}\)
29. Zanawiasować wyrażenie \(\displaystyle{ 1:2:3:4:5:6:7:8:9}\) tak aby było ono równe \(\displaystyle{ \frac{7}{10}.}\)
30. W zbiorze wszystkich łamanych na płaszczyźnie określa się odwzorowanie : Dowolnej łamanej \(\displaystyle{ l}\) przyporządkowuje się łamana \(\displaystyle{ f(l)}\) utworzona ze środków odcinków łamanej \(\displaystyle{ l}\); jeśli kolejne odcinki są równoległe to będą „sklejone”.
Czy \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe i czy jest „na” ?