Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ x^{2}+ax+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^{2}}=-6}\) ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest równa \(\displaystyle{ 7}\).

Dodaj spacje przed ułamkami bo Ci się Latex popsuł

\(\displaystyle{ x^{2}+ax+ \frac{a}{x} + \frac{1}{x^{2}}=-6}\)

Niech \(\displaystyle{ t=x+ \frac{1}{x}}\) wtedy \(\displaystyle{ t^{2}=x^{2}+2+ \frac{1}{x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ t^{2}-2+at=-6 \\
t^{2}+at+4=0 \\
\Delta > 0 \\
a^{2}-16>0 \Rightarrow a \in (- \infty ,-4) \cup (4,+ \infty ) \\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=7 \\
(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=7}\)

Teraz wzory Viete'a, wyjdą dwa wyniki ale trzeba jeszcze je sprawdzić (podstawić \(\displaystyle{ a}\) do równania z \(\displaystyle{ t}\) i policzyć miejsca zerowe) ponieważ \(\displaystyle{ t=x+ \frac{1}{x} \ge 2}\) dla liczb dodatnich bo
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} \ge 2 \\
x^{2}-2x+1 \ge 0 \\
(x-1)^{2} \ge 0}\)

Czyli powinno być \(\displaystyle{ t \in (- \infty ,0) \cup \langle 2,+ \infty )}\)