Matematyka.pl

\(\displaystyle{ X \in \RR}\)

\(\displaystyle{ \rho(x,y) = \left| \arctan x - \arctan y \right|}\) - pokazać, że jest metryką i wyznaczyć postać \(\displaystyle{ K(0,1)}\)

Strasznie źle mi się kojarzy Twój nick:

1) \(\displaystyle{ |\arctan x-\arctan y|=0 \Leftrightarrow \arctan x=\arctan y \Leftrightarrow x=y}\),
bo \(\displaystyle{ f(t)=\arctan t}\) jest różnowartościowa.
2) Z własności wartości bezwzględnej mamy
\(\displaystyle{ |\arctan x-\arctan y|=|\arctan y-\arctan x|}\)
3) należy jeszcze uzasadnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z \in \RR}\) jest
\(\displaystyle{ |\arctan x-\arctan z|+\left| \arctan z-\arctan y\right| \ge |\arctan x-\arctan y|}\).
A to jest bezpośrednią konsekwencją nierówności trójkąta (tej najprostszej, dla wartości bezwzględnych).-- 23 sty 2017, o 21:30 --A kule to sobie opisz, to chyba nie jest trudne.