Matematyka.pl

Obliczyć podany wyznacznik stopnia \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}

4&4&...&4&4\\1&4&...&4&4\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\1&1&...&4&4\\1&1&...&1&4\end{bmatrix}}\)


Wyznaczyłam wzór na wyznacznik macierzy n-tego stopnia:

\(\displaystyle{ 4 \cdot 3^{n-1}}\)

I teraz nie wiem, jak udowodnić, że on działa, myślę, że może indukcją, ale nie wiem, jak.
Proszę o pomoc.

Można indukcyjnie, z zastosowaniem rozwinięcia Laplace'a, ale to chyba trochę żmudne.

Ja bym to zrobił tak:
odejmij pierwszą kolumnę od drugiej kolumny, drugą kolumnę od trzeciej kolumny itd. aż do kolumn o numerach \(\displaystyle{ n-1}\) i \(\displaystyle{ n}\). Ta operacja nie zmieni wyznacznika. Otrzymasz w rezultacie macierz górnotrójkątną z jedną czwórką i \(\displaystyle{ n-1}\) trójek na głównej przekątnej.

Czyli można liczyć wyznacznik macierzy mnożąc liczby na głównej przekątnej, jeśli pod lub nad nią mamy macierz trójkątną?

O, źle napisałem, przecież wtedy i tak zostaną jedynki w pierwszej kolumnie...
Za to na górze będziemy mieć same zera, więc otrzymamy macierz dolnotrójkątną. Jej wyznacznik jest taki sam - tak, po prostu mnożymy liczby na przekątnej.

Już rozumiem, dziękuję