Matematyka.pl

Cześć, ostatnio czytałem, że pierwszą osobą która udowodniła tożsamość Newtona była Leonhard Euler. Ta tożsamość to:

\(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} , y \in \mathbb{R} \setminus \{0\} , n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}}\)

(daje dziedzinę bez zer bo trzeba by było przyjąć, że \(\displaystyle{ 0^{0} = 1}\))

\(\displaystyle{ (x + y)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} {n \choose i} \cdot x^{i} \cdot y^{n-i}}\)


Ten temat zakładam z ciekawości, bo hipoteza nie wydaje mi się bardzo trudna a musiała czekać aż 100 lat na rozstrzygnięcie ?

pi0tras pisze:\(\displaystyle{ x \in \{ \mathbb{R} \setminus {0} \} , y \in \{ \mathbb{R} \setminus {0} \}, n \in \{\mathbb{N} \setminus {0} \}}\)

W kwestii formalnej: jak już, to

\(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} , y \in \mathbb{R} \setminus \{0 \}, n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}.}\)

JK

Poprawione.

Zacytowaną przez Ciebie formułę znali już arabscy matematycy w zamierzchłych czasach. Podejrzewam, że potrafili też ją uzasadnić, a ich uzasadnienie w przekładzie na formalny język matematyczny dawałoby współczesny kombinatoryczny dowód tej równości.
Newton był jednym z największych matematyków wszystkich czasów i z pewnością nie miałby problemu z tak błahym twierdzeniem. Jego formuła miała postać
\(\displaystyle{ (x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{+\infty}{{\alpha}\choose{n}}x^{\alpha-n}y^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest zupełnie dowolną liczbą rzeczywistą plus jakieś dodatkowe założenia na \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), żeby prawa strona była zbieżna. Nie pamiętam dokładnych założeń. Pewnie coś w stylu \(\displaystyle{ 0<y<x}\) wystarcza.
Warto pamiętać, że w tamtych czasach rzadziej publikowano dowody jakichkolwiek twierdzeń, a nawet jeśli ktoś to robił, to często nie spełniały one rygorystycznych wymogów z jakimi spotykamy się współcześnie. Z tej perspektywy trudno uznać, że była to hipoteza, która czekała na dowód, bo wtedy trochę inaczej wyglądał sam sposób uprawiania matematyki. Na przykład poważni matematycy w dosyć beztroski sposób wykorzystywali szczególną formę powyższej tożsamości czyli
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n}\)
i kładli \(\displaystyle{ x=1}\), co dawało
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=1-1+1-1+1-1+...=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+...=0}\)
i uznawali, że wszystko jest jak najbardziej ok. To było jedno z udowodnionych w tamtych czasach twierdzeń i, o ile się nie mylę, to jest ono autorstwa Eulera właśnie.
Warto jeszcze dodać, że formuła wynika z elementarnej analizy matematycznej, a na formalizacje podstaw analizy matematycznej trzeba było czekać na Weierstrassa czyli na lata 70-te XIX wieku. Jeszcze na początku wieku XIX Abel pisał, że jego zdaniem niemożliwe jest podanie definicji zbieżności szeregu liczbowego poza klasą szeregów geometrycznych, co wskazuje, że ówcześni matematycy nie potrafili podać w pełni ścisłej definicji prawej strony powyższej tożsamości.
Uprawiania w XVII, XVIII i do pewnego momentu w XIX wieku analiza matematyczna była mocno nieformalna, oparta na intuicji i często błędna, co nie znaczy, że była bezwartościowa.

No właśnie wydawało mi się to dziwne żeby nikt wcześniej nie umiał tego wykazać, tylko ciekawe czemu wyróżniają Leonhard Eulera jako ktoś kto to wykazał ? No ale dzięki w każdym razie .