Matematyka.pl

Cześć, ostatnio po usłyszeniu słów "Zbiór liczb rzeczywistych ma więcej elementów niż zbiór liczb naturalnych", zacząłem się zastanawiać czy to dobre sformułowanie, znam dowód Cantora na to, że nie da się pokryć elementów ze zbioru liczb rzeczywistych elementami ze zbioru liczb naturalnych, okay to zrozumiałe ale czy można tu mówić o jakiejkolwiek liczności ? skora oba zbiory nie mają skończonej liczby elementów, i chyba o tej "wielkości" nieskończonych zbiorów można tylko mówić w kontekście tego pokrycia, i te stwierdzenia, że \(\displaystyle{ \aleph_0}\) jest większe od każdej liczby naturalnej tym bardziej jest błędne.To chyba podobne zagadnienie do tego czy większe koło ma więcej punktów od mniejszego koła, tak myślę. Powiedzcie mi, że nie zwariowałem : D, dzięki z góry .

pi0tras pisze:Cześć, ostatnio po usłyszeniu słów "Zbiór liczb rzeczywistych ma więcej elementów niż zbiór liczb naturalnych", zacząłem się zastanawiać czy to dobre sformułowanie, znam dowód Cantora na to, że nie da się pokryć elementów ze zbioru liczb rzeczywistych elementami ze zbioru liczb naturalnych, okay to zrozumiałe ale czy można tu mówić o jakiejkolwiek liczności ?

A dlaczego nie? Trzeba tylko stworzyć odpowiedni opis dla liczności nieskończonych.

pi0tras pisze:i chyba o tej "wielkości" nieskończonych zbiorów można tylko mówić w kontekście tego pokrycia,

Jakiego pokrycia?

pi0tras pisze:i te stwierdzenia, że \(\displaystyle{ \aleph_0}\) jest większe od każdej liczby naturalnej tym bardziej jest błędne.

Dlaczego? Trzeba tylko powiedzieć, co to znaczy "większe".

pi0tras pisze:To chyba podobne zagadnienie do tego czy większe koło ma więcej punktów od mniejszego koła, tak myślę.

Nie bardzo widzę podobieństwo, tym bardziej, że oba koła mają akurat tyle samo punktów...

Ale nie martw się, zagadnienia związane z nieskończonością są zazwyczaj sprzeczne z potoczną intuicją, co wywołuje odruchy obronne.

JK

Mówiąc pokrycie mam na myśli ten dowód Cantora, że nie da się zrobić listy liczb rzeczywistych.

A co to znaczy, że

pi0tras pisze:o tej "wielkości" nieskończonych zbiorów można tylko mówić w kontekście tego pokrycia,

?

JK

No jak nie da się zrobić ich listy to dla liczb naturalnych nie da się przypisać liczb rzeczywistych tak żeby każda liczba naturalna miała przypisaną inną liczbę rzeczywistą i żeby każda liczba rzeczywista miała przypisaną jakąś liczbę naturalną.

Czyli uważasz, że o "wielkości" nieskończonych zbiorów można mówić tylko w kontekście "równa/różna", a nie można mówić w kontekście "większa/mniejsza"? To ciekawy punkt widzenia. Matematycy nie mają jednak takich oporów.

JK

Nie uważam tak, nie rozumiemy się.

Tez mam takie wrażenie. Wytłumacz może jeszcze raz z czym masz problem.

JK

Po prostu uważam, że są różne typy nieskończoności, i rzeczywiście jeden typ to może być coś więcej niż inny, np. ciąg liczb naturalnych to coś innego niż ilość punktów na jakimś kole o skończonej wielkości, a punkty na walcu o nieskończonej długości (ale o skończonej średnicy podstawy) to coś więcej niż punkty na tym wcześniej wspomnianym kole.Ale nie uważam, że słowo "więcej" jest tutaj dobre (które używane jest w tym potocznym znaczeniu).

A dlaczego?

JK

PS. Akurat punktów na walcu jest tyle samo, co na kole...

Być może jest więcej, miałem na myśli, że można skonstruować zbiór taki, że to będzie coś więcej niż zbiór tych kropek w kole np. zbiór potęgowy tego zbioru.