Matematyka.pl

Rozstrzygnij, czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f : C \rightarrow C}\) taka, że \(\displaystyle{ f(f(x))=x+1}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in C}\).
Proszę o pomoc

Podstaw w tej równości \(\displaystyle{ x=f(f(x))}\), a otrzymasz:
\(\displaystyle{ f(f(f(f(x))))=f(f(x))+1=x+1+1=x+2}\). Ogólnie
\(\displaystyle{ f^{2k}(x)=x+k}\), gdzie \(\displaystyle{ f^{2k}}\) oznacza 2k-krotne złożenie funkcji, a nie potęgę (ostatecznie można to wykazać indukcyjnie).
Nakładając teraz stronami na to \(\displaystyle{ f}\), mamy
\(\displaystyle{ f^{2k+1}(x)=f(x+k)}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ f^{2k+1}(x)=f(f(f^{2k-1}(x)))=f^{2k-1}(x)+1}\).
Ale skoro, jak poprzednio stwierdziliśmy, \(\displaystyle{ f^{2k+1}(x)=f(x+k)}\), to\(\displaystyle{ f^{2k-1}(x)=f(x+k-1)}\). Wniosek: dla każdego \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\) i każdego \(\displaystyle{ x}\) całkowitego mamy
\(\displaystyle{ f(x+k)=f(x+k-1)+1}\). Pomyśl, czemu z tego wynika, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in C}\) (nie lubię tego oznaczenia, ale już będę się trzymał takiego, jakie wprowadziłeś) mamy
\(\displaystyle{ f(x)=f(x-1)+1}\). Stąd otrzymujemy wniosek, że musi być \(\displaystyle{ f(x)=x+c}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c}\) całkowitego.
ale podstawiając taką \(\displaystyle{ f}\) do wyjściowego równania
\(\displaystyle{ f(f(x))=x+1}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ x+2c=x+1}\), czyli \(\displaystyle{ 2c=1}\). Sprzeczność.
Zatem taka funkcja nie istnieje.

Wydaje mi się, że można to zrobić dużo prościej...

Jeśli liniowa (bo temat) to \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\) wstawić do podanego i wykazać, że nie istnieje.

Istotnie da się prościej i szybciej. Jeśli \(\displaystyle{ f(f(x))=x+1}\) to możemy podłożyć \(\displaystyle{ x=f(x)}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ (1)}\) \(\displaystyle{ f(f(f(x)))=f(x)+1}\).

Teraz równość z zadania obkładamy funkcją \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ (2)}\) \(\displaystyle{ f(f(f(x))) = f(x+1)}\)

Porównujemy prawe strony równań \(\displaystyle{ \ (1)}\) i \(\displaystyle{ \ (2)}\), wychodzi, że \(\displaystyle{ f(x+1) - f(x) = 1}\), czyli funkcja jest postaci \(\displaystyle{ f(x) = x + a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest całkowite. Końcówka taka sama.

Dużo łatwiej się o tym myśli w kontekście ciągów (nam wychodzi, że ma być arytmetyczny).