ciekawe zadanie z kulami

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
niewidoczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 6 mar 2007, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 3 razy

ciekawe zadanie z kulami

Post autor: niewidoczny » 12 wrz 2007, o 16:19

Na stole leza cztery kule o promieniu 3cm, z ktorych kazda jest styczna do dwoch sasiednich. W utworzony przez te kule "dolek" wlozono piątą kulę o tym samym promieniu. Oblicz odległość najwyżej położonego punktu piątej kuli do płaszczyzny stołu.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

ciekawe zadanie z kulami

Post autor: scyth » 13 wrz 2007, o 08:17

Zauważ, że środki kul tworzą ostrosłup prawidłowy czworokątny (piramidę) o boku 6.
Szukaną wysokość możemy podzielić na trzy części:
- do podstawy piramidy (=promień, czyli 3 cm)
- wysokość piramidy (do obliczenia)
- od wierzchołka piramidy do wierzchołka kuli (=promień)

Wysokość tej piramidy już łatwo obliczyć.
Najpierw wysokość trójkąta rónobocznego tworzącego ścianę tej piramidy:
\(\displaystyle{ h_1=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}}\)
Zatem szukana wysokość piramidy:
\(\displaystyle{ h=\sqrt{(3\sqrt{3})^2-3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}}\)
i ostateczny wynik to \(\displaystyle{ 6+3\sqrt{2}}\).

ODPOWIEDZ