Matematyka.pl

Witam, mam problem z zadaniem:

"Rozwiąż podstawowy problem geodezyjny, czyli poszukiwanie najkrótszej krzywej łączącej dwa punkty A i B. Pod warunkiem, że krzywa ta leży na sferze".

Robiłem to tak, że utworzyłem funkcjonał z różniczką drogi we współrzędnych sferycznych i jakieś dziwne rzeczy wychodziły... Da się to jakoś w miarę prosto zrobić?

Poco to szukasz wiadomo i tak ,że to będzie kawałek okręgu wielkiego ze sfery

Ja chce to obliczyć z równania Eulera-Langrange'a. Na analogicznej zasadzie są zadania z najkrótszą krzywą łączącą dwa punkty na płaszczyźnie. Tak samo jak w tym wypadku nie trzeba być geniuszem, żeby określić jaka to krzywa.

Powinno iść tak:

\(\displaystyle{ x=r \sin \varphi \cos \phi}\)

\(\displaystyle{ y=r \sin \varphi \sin \phi}\)

\(\displaystyle{ z=r \cos \varphi}\)

współrzędne tensora jedne i drugie:

\(\displaystyle{ g_{i,j}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2 \sin^2 \varphi\end{array}\right]}\)


\(\displaystyle{ g^{i,j}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0& \frac{1}{r^2} &0\\0&0& \frac{1}{r^2 \sin^2 \varphi} \varphi\end{array}\right]}\)

Równanie różniczkowe geodetyk ma postać:

\(\displaystyle{ \frac{dx^r}{ds^2}+\Gamma ^r_{i,j} \frac{dx^i}{ds} \frac{dx^j}{ds}=0}\)


W sumie to pierwszy wiersz i pierwsza kolumna powinny być zero bo r jest stała przy sferze.

Och super znowu piszesz jakieś bzdury...

No to fajnie że bzdury Panie Geniuszu.


Och super masz tu:

\(\displaystyle{ g_{1,1}=r^2}\)

\(\displaystyle{ g_{2,2}=r^2 \sin ^2 \varphi}\)

\(\displaystyle{ g_{1,2}=g_{2,1}=g^{1,2}=g^{2,1}=0}\)

\(\displaystyle{ g^{1,1}= \frac{1}{r^2}}\)

\(\displaystyle{ g^{2,2}= \frac{1}{r^2 \sin ^2 \varphi}}\)

Symbole Christoffela nie będę przepisywał obliczeń:

\(\displaystyle{ \Gamma^1_{1,1}=\Gamma^1_{1,2}=\Gamma^1_{2,1}=\Gamma^2_{1,1}=\Gamma^2_{2,2}=0}\)

\(\displaystyle{ \Gamma^1_{2,2}=- \frac{1}{2} \sin 2 \varphi}\)

\(\displaystyle{ \Gamma^2_{1,2}=\Gamma^2_{2,1}=\ctg \varphi}\)

I teraz z tego , oraz z tego co powyżej masz układ równań różniczkowych (geodetyk) kolego najmądrzejszy na całym forum:

\(\displaystyle{ \frac{d^2x^1}{ds^2}- \frac{1}{2} \sin 2 \varphi \cdot \frac{dx^2}{ds} \frac{dx^2}{ds}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{d^2x^2}{ds^2}+ \ctg \varphi \cdot \frac{dx^1}{ds} \frac{dx^2}{ds}=0}\)

Trzecie równanie to równanie sfery na której leży ta linia geodezyjna.