Ciekawe zadanko - macierze

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Ciekawe zadanko - macierze

Post autor: Novy » 12 wrz 2007, o 13:24

Ile jest macierzy \(\displaystyle{ A\in M_{2x2}(R)}\), dla których \(\displaystyle{ det(A)>0\,\,\,i\,\,\,A^{-1}=-A ?}\)


Ile jest macierzy \(\displaystyle{ A\in M_{2x2}(R)}\), dla których \(\displaystyle{ det(A)}\)
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2007, o 13:26 przez Novy, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Ciekawe zadanko - macierze

Post autor: Emiel Regis » 12 wrz 2007, o 13:31

Nie ma sprzeczności, spójrz:
\(\displaystyle{ A\in M_{2x2}(R)}\), dla których \(\displaystyle{ det(A)>0\,\,\,i\,\,\,A^{-1}=-A ?}\)
mamy warunek:
\(\displaystyle{ detA^{-1}=det(-A)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{detA}=(-1)^2detA}\)
\(\displaystyle{ 1=(detA)^2}\)
\(\displaystyle{ detA=-1 detA=1}\)
Z tej racji że wyznacznik ma byc większy od zera to otrzymujemy jedno rozwiązanie równe 1.

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Ciekawe zadanko - macierze

Post autor: Novy » 12 wrz 2007, o 14:19

moze byc nieskonczenie wiele macierzy, których wyznacznik wynosi 1.
To samo dla takich co wyznacznik wynosi -1.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Ciekawe zadanko - macierze

Post autor: Emiel Regis » 12 wrz 2007, o 15:04

Ale przecież masz wiecej warunków. Ja wcześniej pisałem tylko i wyłącznie o wyznaczniku bo twierdziłeś że jest jakaś sprzeczność.

Sprawdz reszte warunków bo mi wychodzi ze nie ma żadnej takiej macierzy... oczywiscie moge sie mylic.

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Ciekawe zadanko - macierze

Post autor: Novy » 12 wrz 2007, o 18:05

\(\displaystyle{ det(A^{-1}) = det (A)
\\

...po\,obliczeniach...}\)



\(\displaystyle{ \frac{ad-bc}{(ad-bc)^2} = ad-bc

ad-bc = 1\,\,\,\,\,\,v\,\,\,\,\,\, ad-bc =\,(-1)}\)



z założeń wiemy że det(A) > 0
czyli ad-bc > 0

w takim razie tylko pierwszy warunek jest spełniony. A takich macierzy, złozonych z a,b,c,d, których wyznacznik jest rowny jeden jest niesk. wiele...
(np. a=1, b=1, c=1,2,3,4,5.... d=2,3,4,5,6....)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Ciekawe zadanko - macierze

Post autor: Emiel Regis » 12 wrz 2007, o 18:15

No ale nie sądzisz że warunek
\(\displaystyle{ det(A^{-1}) = det (A)}\)
to nie to samo co
\(\displaystyle{ A^{-1} = -A}\)
?
A nie widze żebyś sprawdzal gdziekolwiek to założenie...

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Ciekawe zadanko - macierze

Post autor: Novy » 12 wrz 2007, o 19:18

jeszcze raz...
to w ogóle są 2 zadania - jedno z A. drugie z -A.


jeszcze raz z A:
\(\displaystyle{ det(A)>0
\\
\\
A^{-1}=(A)}\)



to były nasze załozenia. A teraz obliczenia:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]
\\
\\
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{\frac{d}{ad-bc}}&{\frac{b}{ad-bc}}\\{\frac{c}{ad-bc}}&{\frac{a}{ad-bc}}\end{array}\right]}\)






to ma się równać, więc:
\(\displaystyle{ a=\frac{d}{ad-bc}}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{b}{ad-bc}}\)
\(\displaystyle{ c=\frac{c}{ad-bc}}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{a}{ad-bc}}\)


z tego z kolei wynika że a=d oraz że \(\displaystyle{ ad-bc = 1}\) co jest większe od zera, zgadza się.

Tak więc aby spełniona była początkowa równość, det(A) musi się równać 1 i a=d
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2007, o 22:54 przez Novy, łącznie zmieniany 3 razy.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Ciekawe zadanko - macierze

Post autor: Emiel Regis » 12 wrz 2007, o 20:04

\(\displaystyle{ det(A)>0 \\ A^{-1}=-A}\)


\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ -A=\left[\begin{array}{ccc}{-a}&{-b}\\{-c}&{-d}\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ detA=ad-bc=1}\)

\(\displaystyle{ A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{d}&{-c}\\{-b}&{a}\end{array}\right]}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ a=-d\\
b=c}\)

i wstawiając do równania z wyznacznikiem:
\(\displaystyle{ ad-bc=1\\
-a^2-b^2=1\\a^2+b^2=-1}\)

Czyli jak dla mnie nie ma żadnej takiej macierzy...

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Ciekawe zadanko - macierze

Post autor: Novy » 12 wrz 2007, o 22:52

no racja.. ja zrobiłem zadanie z A, a Ty z -A.
W moim wyjdzie że nieskonczenie, a w Twoim że zero.

ODPOWIEDZ