Wymiar przestrzeni wektorowej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Wymiar przestrzeni wektorowej

Post autor: Novy » 12 wrz 2007, o 12:17

1. \(\displaystyle{ Niech \,\,\,V={w\in R_{3}[x]:w(i)=0}, \,\,\,W={w\in R_{3}[x]:w(1)=w(-1)}}\)

2. \(\displaystyle{ Niech \,\,\,V={w\in R_{3}[x]:w(0)\geqslant{0}}, \,\,\,W={w\in R_{3}[x]:w(x)=-w(-x)}}\)

3. \(\displaystyle{ Niech \,\,\,V={A\in M_{2x2}(R):tr \,A=0}, \,\,\,W={A\in M_{2x2}(R):det(A)=0}}\)




do wszystkich trzech pytanie: Jaki jest wymiar V i jaki jest wymiar V \(\displaystyle{ \cap}\)W
pomocy, jak to się robi?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Wymiar przestrzeni wektorowej

Post autor: Emiel Regis » 12 wrz 2007, o 13:20

Jak mam rozumieć to 'i' w pierwszym zadaniu?

Póki co zajmę się W, otóż tak:
Przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej trzeciego posiada kanoniczną bazę:
\(\displaystyle{ x^3, x^2, x, 1}\)
Zatem każdy inny wektor z tej przestrzeni da się zapisac jako kombinację liniową w/w bazy.
\(\displaystyle{ R_3[x] \ni w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
Teraz już w naszej przestrzeni W:
\(\displaystyle{ w(1)=a+b+c+d=-a+b-c+d=w(-1)}\)
\(\displaystyle{ c=-a}\)
\(\displaystyle{ W \ni w(x)=ax^3+bx^2-ax+d=a(x^3-x)+bx^2+d}\)
Czyli bazą przestrzeni W są trzy wektory:
\(\displaystyle{ x^3-x, x^2, 1}\)
Tak więc \(\displaystyle{ dimW=3}\)
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2007, o 13:35 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 1 raz.

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Wymiar przestrzeni wektorowej

Post autor: Novy » 12 wrz 2007, o 13:25

[quote="Drizzt"]Jak mam rozumieć to 'i' w pierwszym zadaniu?[/quote]

no zapewne jako część zespolona, no bo przecież nie jako jakaś zwykła niewiadoma :)

[ Dodano: 12 Września 2007, 13:28 ]
[quote="Drizzt"]c= -1[/quote]

skąd to?

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Wymiar przestrzeni wektorowej

Post autor: Emiel Regis » 12 wrz 2007, o 13:35

Jeśli jako część urojona to nie wiem czy to zadanie ma sens, pomyśle jeszcze. Z tym c literówka, już poprawiam.
Mogłeś sie domyślic z nastepnej linijki albo samemu rozwiazac rownanie; )

[edit]
\(\displaystyle{ w(i)=-ia-b+ic+d=0}\)
Ale z drugiej strony współczynniki wielomianów są z R.
To ja bym to zrobił dalej tak:
c=a oraz b=d, wtedy:
\(\displaystyle{ V \ni w(x)=ax^3+bx^2+ax+b=a(x^3+x)+b(x^2+1)}\)
Zatem bazą V są:
\(\displaystyle{ x^3+x, x^2+1}\)
\(\displaystyle{ dimV=2}\)
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2007, o 14:48 przez Emiel Regis, łącznie zmieniany 4 razy.

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Wymiar przestrzeni wektorowej

Post autor: Novy » 12 wrz 2007, o 14:24

a ten iloczyn V i W to jak będzie?

[ Dodano: 12 Września 2007, 14:32 ]
Drizzt pisze:\(\displaystyle{ w(i)=-ia-b-ic+d=0}\)
a nie powinno być zamiast d jeden?
w sensie d=1
no bo baza \(\displaystyle{ x^{3}+x{2}+x+1}\)

[ Dodano: 12 Września 2007, 14:38 ]
woógle to zrobiłem inaczej z tym "i"
o tak:


\(\displaystyle{ w(i) = 0

w(i)=(-ai) - b +ci + 1= 0

-b-i(a-c)=-1

b+i(a-c)=1


a-c=0

c=a

b=1


ax^{3}+x^{2}+ax+1 = a(x^{3}+x)+x^{2}+1

dimV = 3}\)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Wymiar przestrzeni wektorowej

Post autor: Emiel Regis » 12 wrz 2007, o 14:49

Z 'i' widze że zrobiłeś tak samo tylko ja chyba z rozpędu minusa wstawilem niepotrzebnie. Teraz moje juz jest dobrze. A d musi być bo bierzesz kombinację liniową bazy. I przez to u Ciebie jest zły wymiar.

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Wymiar przestrzeni wektorowej

Post autor: Novy » 13 wrz 2007, o 18:42

a na trzeci przyklad z tych co podałem mogłby ktos rzucic okiem?

ODPOWIEDZ