zbieżność szeregu/ promień zbieżności szeregu

[seb7]

potrzebuję pomocy przy dwóch następujących zadankach

Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{x}}}\) jest zbieżny? odpowiedz uzasadnij.



Wyznacz promień zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_}\)\(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{n^{2}+1}}\)\(\displaystyle{ x^{n}}\)

jezeli ktos by sie podjął to prosze o szczegołowe rozpisanie bo za dory to w tym nie jestem
z gory dziekuje

[max]

Czy mógłbyś wyjaśnić co rozumiesz pod pojęciem promienia zbieżności okręgu ??

[seb7]

na szybkości zle przepisałem zadanko promien zbieżności szeregu oczywiscie mój błąd przepraszam ktos sie podejmie??

[max]

Co do pierwszego to sumujemy względem \(\displaystyle{ x}\), czy może \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną niezależną dla ciągu funkcji \(\displaystyle{ f_{n}(x) = \frac{1}{3^{x}}}\), który sumujemy po \(\displaystyle{ n}\) ?
W pierwszym wypadku szereg byłby zbieżny, w drugim oczywiście rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\).

A odnośnie promienia zbieżności to mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sqrt[n]{\left|\frac{n^{2}}{n^{2} + 1}\right|} = 1}\)
i stąd \(\displaystyle{ R = \frac{1}{1} = 1}\)