granica z silnią :)

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

granica z silnią :)

Post autor: mostostalek » 11 wrz 2007, o 21:10

mam takie pytanie.. jak się liczy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(2n)!}}\)??

ta granica jest równa 0 ale jak to wykazać??

Awatar użytkownika
Jestemfajny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 lis 2006, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: AGH
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 36 razy

granica z silnią :)

Post autor: Jestemfajny » 11 wrz 2007, o 21:24

Kryterium zbieżności d'Alemberta.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|
\\\lim_{n\to\infty}a_{n}=0}\)

dalej sobie poradzisz:)
pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2007, o 21:32 przez Jestemfajny, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica z silnią :)

Post autor: max » 11 wrz 2007, o 21:28

\(\displaystyle{ 0 < \frac{n!}{(2n)!} qslant \frac{1}{2n}}\)
i wystarczy skorzystać z tw o trzech ciągach...

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

granica z silnią :)

Post autor: mostostalek » 11 wrz 2007, o 21:50

a skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ \frac{n!}{(2n)!}\leqslant\frac{1}{2n}}\)?? :/ ja tego nie widzę.. :/

[ Dodano: 11 Września 2007, 21:55 ]
i jeszcze jedno pytanie.. czy nie jest tak, że ciąg musi spełniać warunek konieczny czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0}\), żeby potem dopiero sprawdzać jego zbieżność z kryterium d'Alemberta??

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

granica z silnią :)

Post autor: setch » 11 wrz 2007, o 22:24

Co do drugiego, tak.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica z silnią :)

Post autor: max » 11 wrz 2007, o 22:28

Nie wiem co rozumiesz przez kryterium d'Alemberta czy też warunek konieczny w tym przypadku... prawdziwe jest twierdzenie, że jeśli dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| \leqslant q }\), to ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) zbiega do zera.

A odnośnie tego szacowania powyżej, to chyba nietrudno zauważyć, że
\(\displaystyle{ 2n! = n! \cdot (n + 1)\cdot \ldots \cdot (2n - 1)\cdot 2n}\)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

granica z silnią :)

Post autor: Emiel Regis » 11 wrz 2007, o 22:30

[quote="mostostalek"]i jeszcze jedno pytanie.. czy nie jest tak, że ciąg musi spełniać warunek konieczny czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0}\), żeby potem dopiero sprawdzać jego zbieżność z kryterium d'Alemberta??[/quote]

Granica ciagu zero to jest warunek konieczny zbieżności szeregu więc jeśli jego nie sprawdzisz a Ci z kryterium wyjdzie że szereg jest zbieżny to automatycznie wiesz że i granica ciągu jest zero.

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

granica z silnią :)

Post autor: mostostalek » 12 wrz 2007, o 16:01

ahh dzięki.. o to mi chodziło dokładnie :) pozdrawiam

ODPOWIEDZ