Matematyka.pl

Dobry wieczór,
mam za zadanie zbadać zbieżność szeregów i mam z nimi problem z poniższymi zadaniami:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty } \sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n}\)
Tutaj wychodzi mi spełniony warunek konieczny, ale dalej nie wiem jak to pociągnąć... próbowałem o 3 ciągach, do porównawczego i ilorazowego nie mogę wpaść jaki ciąg podać
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \sin n(\sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n)}\)
Tutaj też nie mam za bardzo pojęcia, bo jak sprawdzę czy jest zbieżny bezwzględnie jak moduł z sinusa to\(\displaystyle{ [0,1]}\)

Co do pierwszego, można próbować szacować. Ze wzoru skróconego mnożenia dla różnicy sześcianów:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n=\frac{n^3+\sqrt{n}-n^3}{\sqrt[3]{(n^3+\sqrt{n})^2}+n\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}}+n^2}}\)

Teraz wystarczy oszacowań mianownik:

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{(n^3+\sqrt{n})^2}+n\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}}+n^2}<\frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{(n^3)^2}+n\sqrt[3]{n^3}+n^2}=\frac{1}{3n\sqrt{n}}}\)

Można zauważyć, że tak naprawdę \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n\approx\frac{1}{3n\sqrt{n}}}\).

Co do drugiego podpunktu: zastanów się nad zdaniem:

Szereg o wyrazach \(\displaystyle{ a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy bezwzględnie zbieżny jest szereg o wyrazach \(\displaystyle{ \sin a_n}\).

Jak myślisz, jest to prawdziwe? Która z implikacji jest "za darmo"?

Czy w Twoim przykładzie jest dodatkowe \(\displaystyle{ n}\) w argumencie czy to literówka?

Dzięki za szybką odpowiedź
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{(n^3+\sqrt{n})^2}+n\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}}+n^2}<\frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{(n^3)^2}+n\sqrt[3]{n^3}+n^2}=\frac{1}{3n\sqrt{n}}}\)
Mam odnośnie tego pytanie:
-czy jest jakaś różnica w zapisie:
\(\displaystyle{ {(\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}} )^2}\), od tego? \(\displaystyle{ {\sqrt[3]{(n^3+\sqrt{n})^2}}\), bo korzystając ze sposoby na sześcian wyszedł mi pierwszy sposób

Szereg o wyrazach a_n jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy bezwzględnie zbieżny jest szereg o wyrazach sin a_n.

Jak myślisz, jest to prawdziwe? Która z implikacji jest "za darmo"?

o dzięki nie widziałem o takiej rzeczy, w sumie można by tego użyć, ale niestety dodatkowe \(\displaystyle{ n}\) w \(\displaystyle{ \sin n}\) nie jest przypadkowe, bo chciałem tego sinusa ograniczyć od góry przez \(\displaystyle{ n}\), ale niestety wtedy wychodzi szereg rozbieżny.

Co do pierwszego pytania: na jedno wychodzi. Wśród pierwiastków argumentów dodatnich mamy tożsamości

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a^m}=\left(a^m\right)^{1/n}=a^{m/n}=\left(a^{1/n}\right)^{m}=\left(\sqrt[n]a\right)^m}\)

Z kryterium ilorazowego, jeżeli \(\displaystyle{ a_n}\) zbiega do zera, to ze znanej granicy mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin a_n}{a_n}=1}\)

Drugi szereg powinien istotnie być rozbieżny. Tylko trzeba pamiętać, że jeżeli chcesz dokonywać oszacowań, to tym razem trzeba to zrobić "od dołu" nie "z góry".

Wpadłem na taki pomysł, ale nie jestem pewien czy to jest dobre rozwiązanie:
Dowodzę rozbieżność, więc ograniczam z dołu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \sin n(\sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n) \ge \frac{ \pi }{2n}( \sqrt[3]{n ^{3}+1} -n) \ge \frac{ \pi }{2n}(n+1-n)= \frac{ \pi }{2}* \frac{1}{n}}\) - szereg Dirichleta rozbieżny

Ta nierówność raczej nie wygląda na prawdziwą (a nawet jeżeli by była, wypadałoby ją uzasadnić). Spróbuj pozbyć się sinusa kryterium ilorazowym. Reszta przekształceń powinna być podobna jak w poprzednim przykładzie.

Być może próbowałeś użyć nierówności \(\displaystyle{ \sin x\ge \frac{2}{\pi}x}\), ale ona nie jest zawsze prawdziwa, a choćby dla \(\displaystyle{ x \in\left[ 0, \frac \pi 2\right]}\).

Poza tym jeśli chciałeś użyć tej nierówności, to nie tak wychodzi.

ehh, popełniłem literowkę, bo prawdziwa jest taka nierówność, że \(\displaystyle{ \sin x \ge \frac{2}{ \pi x}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\)

A jesli chodzi o tą nierówność, to czy jest ona prawdziwa, bo mam wątpliwości?
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{n^{3}+ \sqrt{n}}-n) \ge( \sqrt[3]{n^{3}+1} -n) \ge (n+1-n)}\)

Ta druga nierówność jest kompletnie niepoprawna, bo żeby zaszło
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^3+1}-n\ge \sqrt[3]{(n+1)^3}-n}\), musiałoby być:
\(\displaystyle{ n^3+1\ge (n+1)^3}\), a to nie jest spełnione nawet dla żadnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\).

Nie \(\displaystyle{ \sin x \ge \frac{2}{ \pi x}}\), tylko \(\displaystyle{ \sin x\ge \frac 2 \pi \cdot x}\), może tak będzie czytelniej, iks nie jest w mianowniku,-- 9 sty 2017, o 22:00 --Wygodniej byłoby tak to rozwiązywać, jak proponował JakimPL, z użyciem kryterium ilorazowego.

W sumie odpowiedź okazała się banalna i ciąg jest zbieżny bezwględnie, bo

Z kryterium porównawczego:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \sin n(\sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n) \le (\sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n}\)

To w końcu argumentem sinusa jest
\(\displaystyle{ n\left( \sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}}-n \right)}\), czy samo \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}}-n}\)?

Jeśli to drugie, to faktycznie wystarczy zastosować nierówność \(\displaystyle{ \sin x\le x}\) i kryterium porównawcze. Uzasadnienie zbieżności
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left(\sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n \right)}\)
jest już łatwe (sprzężenie i widać, że mamy szereg o wyrazach rzędu \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{\frac 3 2}}}\)).