Matematyka.pl

Mam do rozwiązanie takie zadanie, zupełnie nie wiem jak się za nie zabrać, bo nie wiem jak z \(\displaystyle{ a}\) sobie poradzić
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } aq^{n-1} dla a<0}\)

\(\displaystyle{ S1=-a}\)
\(\displaystyle{ S2=-a-aq}\)
\(\displaystyle{ s3=-a-aq-aq ^{2}}\)
.
.
\(\displaystyle{ Sn=-a-aq-aq ^{2}-...-aq ^{n-1}}\)
I dalej nie wiem

Albo \(\displaystyle{ a<0}\), albo minus przed liczbą dodatnią. W obecnym przypadku \(\displaystyle{ S_n}\) się nie zgadza - jest przeciwnego znaku.

Podpowiedź: wyłącz \(\displaystyle{ a}\) przed całość: \(\displaystyle{ S_n=a(1+q+\ldots+q^{n-1})}\).

Nie rozumiem, dlaczego Sn się nie zgadza? Skoro \(\displaystyle{ a}\) jest ujemne to iloczyn \(\displaystyle{ aq ^{n-1}}\) też nie powinien być ujemny?

Czyli trzeba będzie to rozbić na 2 przypadki?
Tzn. 1 . gdy \(\displaystyle{ |q|>1 Sn= \frac{1}{1-q}= \infty}\) a, że\(\displaystyle{ a <0}\) to do\(\displaystyle{ - \infty}\)
2. gdy \(\displaystyle{ |q|<1 Sn= \frac{1}{1-q}= 0}\)

Tak powinno być - ale jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest ujemne, to \(\displaystyle{ -a}\) jest dodatnie.

W dalszej części powinno być raczej \(\displaystyle{ S_n=\frac{1-q^n}{1-q}}\), to co jest napisane u Ciebie to jest granica dla zbieżnych szeregów geometrycznych - i wcale nie wynosi \(\displaystyle{ 0}\) w drugim przypadku.

Przypadki ok (ale brakuje uwzględnionego \(\displaystyle{ |q|=1}\)), ale zapis do poprawy, uwzględniając pomieszane znaki i niedobre granice.

Te zapisy:

zn. 1 . gdy \(\displaystyle{ |q|>1\ Sn= \frac{1}{1-q}= \infty}\) a, że \(\displaystyle{ a <0}\) to do \(\displaystyle{ - \infty}\)
2. gdy \(\displaystyle{ |q|<1\ Sn= \frac{1}{1-q}= 0}\)

to w ogóle jakaś totalna bzdura: dla jakiego \(\displaystyle{ q}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{1-q}= \infty}\)? albo \(\displaystyle{ \frac{1}{1-q}= 0}\) ?