Kilka (prostych?) zadań z teorii liczb...

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6476
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Kilka (prostych?) zadań z teorii liczb...

Post autor: mol_ksiazkowy » 13 wrz 2007, o 12:04

nop tu ma byc lambda=93k, bo twierdz mówi
wyraznie "c podzielny przez nwd liczb a i b"


No właśnie... tak teraz mi naszła taka wątpliwość... jaka jest różnica w zadaniach o poleceniu "Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie" , a "Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie"? Na coś trzeba szczegulnie uważać? Jakoś inaczej sie liczy?
Na ogół szukamy rozw całkowitych., ..chyba ze w zad wyraznie zaznaczono, ze idzie o naturalne, jesli zas
nie, to musimy zakładać ten szerszy sens...ale to juz mozna dokładniej opisac na konkretnym przykladzie, ..etc


12. Jakie liczby między 2320 i 2350 są pierwsze?
choc mozna tez i samemu .....
http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_l ... i_pierwsze
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

MiErOn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 10:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: EL
Podziękował: 13 razy

Kilka (prostych?) zadań z teorii liczb...

Post autor: MiErOn » 13 wrz 2007, o 12:50

mol_ksiazkowy pisze:Na ogół szukamy rozw całkowitych., ..chyba ze w zad wyraznie zaznaczono, ze idzie o naturalne, jesli zas
nie, to musimy zakładać ten szerszy sens...ale to juz mozna dokładniej opisac na konkretnym przykladzie, ..etc
No więc właśnie... mamy takie przykładowe zadanko...

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie:

\(\displaystyle{ 423x+198y=9}\)

Czy model rozwiązania tego równania jest taki sam jak w liczbach całkowitych?
mol_ksiazkowy pisze:12. Jakie liczby między 2320 i 2350 są pierwsze?
choc mozna tez i samemu .....
Wiesz... ... ale chyba musi być jakiś normalny sposób, aby wskazać ilość tych liczb, bo jak dostanie sie jakiś przedział do 7000 do 10 000, to zabraknie nam tabelki albo chęci do robienia tego ręcznie :] ... a poza tym na egzaminie ciężko o tabelkę i do tego czas goni ... No chyba, że nie ma normalnego sposobu

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6476
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Kilka (prostych?) zadań z teorii liczb...

Post autor: mol_ksiazkowy » 13 wrz 2007, o 13:29

MieRon napisaL:
No więc właśnie... mamy takie przykładowe zadanko...
:arrow: nop,. zobacz to na takim pzrykladzie"
\(\displaystyle{ 7x+15y=1}\)
rozw. w liczbach całkowitych maja postać
\(\displaystyle{ x=15v -2}\)
\(\displaystyle{ y=-7v +1}\)
\(\displaystyle{ v \in Z}\)
tak wiec W zbiorze l , naturalnych nie ma ono
rozwiazań, co zreszta widać "gołym okiem", a
łatwo to tez zobaczyc rachukiem :
:arrow:
\(\displaystyle{ x=15v -2 >0}\), tj \(\displaystyle{ v > \frac{2}{15}}\)
\(\displaystyle{ y=-7v +1>0}\) , tj \(\displaystyle{ v < \frac{1}{7}}\)
sprz
w przedziale \(\displaystyle{ (\frac{2}{15}, \frac{1}{7})}\) nie ma
zadnej l. całkowitej v


[ Dodano: 13 Września 2007, 14:37 ]

Jako ciekawostke watro podac fakt, ze jesli znajdziemy choc jedno
rozwiazanie \(\displaystyle{ x_0, y_0}\) równania \(\displaystyle{ ax+by=c}\)
to mamy juz łatwo ogolna postac rozw. "
\(\displaystyle{ x=bv+x_0}\)
\(\displaystyle{ y=-av+y_0}\)
\(\displaystyle{ v Z}\)


MiErOn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 10:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: EL
Podziękował: 13 razy

Kilka (prostych?) zadań z teorii liczb...

Post autor: MiErOn » 13 wrz 2007, o 14:30

ad 10
W sumie mozna policzyc ile jest tych wzglednie pierwszych z 30, taka
liczba musi miec rozklad na czynniki :
\(\displaystyle{ z= 7^a 11^b 13^c}\) .....

i w efekcie
b, c,.... sa równe 0 kub 1.

tj beda to l. pierwsze
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71
73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113

dojda tez cztery wielokrotnosci siodemki":
49, 77, 119, 91

oraz
1

Razem : 32

czyli wynik 120-32=88

Słuchaj... a jakby tak pokombinować z funkcją Eulera... nasuwa się tam od razu parę ciekawych zależności...

po pierwsze z liczbami względnie pierwszymi mamy do czynienia w zwiazku

\(\displaystyle{ \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}\)

po drugie...

\(\displaystyle{ 30=2\cdot 3\cdot 5}\)
\(\displaystyle{ 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5}\)
\(\displaystyle{ 120=2^{3}\cdot 3\cdot 5}\)

\(\displaystyle{ \varphi (30)=8}\)
\(\displaystyle{ \varphi (60)=16}\)
\(\displaystyle{ \varphi (120)=32}\)

Tak samo sie dzieje np. dla 10, 100, 1000, ...

\(\displaystyle{ \varphi (10)=4}\)
\(\displaystyle{ \varphi (100)=40}\)
\(\displaystyle{ \varphi (1000)=400}\)

i innych liczb... 2,4,8,16,... i tak dalej...

Najbardziej interesujące jest to, że \(\displaystyle{ \varphi (120)=32}\) a Tobie też wyszło 32

Czy da radę z tych związków coś wykombinować?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6476
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Kilka (prostych?) zadań z teorii liczb...

Post autor: mol_ksiazkowy » 13 wrz 2007, o 15:22

MiEron napisał
Słuchaj... a jakby tak pokombinować z funkcją Eulera... nasuwa się tam od razu parę ciekawych zależności...

po pierwsze z liczbami względnie pierwszymi mamy do czynienia w zwiazku
Tak , to słuszna i trafna uwaga, bo \(\displaystyle{ \phi(120)}\) wyraza ilosci l. wzglednie pierwszych ze \(\displaystyle{ 120=2^3*5*3}\), i nie wiekszych niz 120 , tj takich ze nie maja one dzielnikow 2, 3 ani 5 a, nam własnie o to chodzi.

MiErOn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 10:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: EL
Podziękował: 13 razy

Kilka (prostych?) zadań z teorii liczb...

Post autor: MiErOn » 15 wrz 2007, o 10:54

Wielkie dzięki dla wszystkich, którzy pomogli mi w rozwiązianiu tych zadanek... Szczegulnie Tobie molu_książkowy ... dziękuje również za wszelkie rady i wskazówki... mam nadzieje, że pomoże mi to wszystko w zaliczeniu examu ;]

ODPOWIEDZ