Matematyka.pl

Witam
Proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższej łamigłówki:

Jest 1 000 żarówek ponumerowanych od 1 do 1 000. Pewien inżynier skonstruował mechanizm przełączania, zmieniający stan niektórych żarówek (z „zapalony” na „zgaszony” i na odwrót) w bardzo szczególny sposób. Jeśli przełącznik jest naciśnięty k-ty raz, zmienia się stan wszystkich żarówek o numerach podzielnych przez k.
Na początku wszystkie żarówki są zgaszone. Następnie inżynier rozpoczyna doświadczenie:

Po pierwszym przyciśnięciu przełącznika (tzn. k = 1) wszystkie żarówki zapalają się.

Po drugim przyciśnięciu przełącznika (tzn. k = 2) wszystkie żarówki o numerach parzystych są zgaszone, a o numerach nieparzystych pozostają zapalone.

Po trzecim przyciśnięciu przełącznika (tzn. k = 3) wszystkie żarówki, których numery są nieparzyste i niepodzielne przez 3, są zapalone oraz wszystkie żarówki, których numery są parzyste i podzielne przez 3, są także zapalone. Pozostałe żarówki są zgaszone.
… i tak dalej.

Inżynier przyciska przełącznik 1 000 razy. Które żarówki pozostają zapalone na końcu doświadczenia?

Zaprezentuj przekonujący argument, że twoja odpowiedź jest poprawna.
Pozdrawiam

Skoro na początku wszystkie były zgaszone, to na końcu będą zapalone te, które mają numer będący liczbą o nieparzyście wielu dzielnikach całkowitych dodatnich, np. \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 4}\) czy \(\displaystyle{ 9}\), bo dla nich stan zmieni się nieparzyście wiele razy. Nic mądrzejszego nie umiem powiedzieć.

czyli żarówki, których numery są kwadratami liczb naturalnych

dzielniki liczby \(\displaystyle{ n}\) się ładnie parują: \(\displaystyle{ d \leftrightarrow \frac nd}\)

jedyny potencjalny niesparowany dzielnik występuje wtedy, gdy \(\displaystyle{ d=\frac nd}\), czyli gdy \(\displaystyle{ d=\sqrt n}\), czyli a to dzieje się tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest kwadratem

Dokładne rozwiązanie tego zadania znajduje się tutaj: Zadanie nr 3

Jednym słowem jeśli klikniemy 1001 raz już się nic nie zmieni...

Dziękuje za pomoc, już wszystko jasne