zastosowanie pochodnych

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

zastosowanie pochodnych

Post autor: mat1989 » 11 wrz 2007, o 17:02

1. Dla jakich wartości parametru a funkcja g określona wzorem \(\displaystyle{ g(x)=\frac{a^2-1}{3}x^3+(a-1)x^2+2x+1}\) jest rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych.

\(\displaystyle{ g'(x)=3\frac{a^2-1}{3}x^2+2(a-1)x+2}\)
\(\displaystyle{ \Delta0}\)

2. Dana jest parabola \(\displaystyle{ y^2=x}\), oraz punkty P=(0,0), C=(9,0), rozpatrujemy trójkąty ABC, których wierzchołki A i B należą do danej paraboli w ten sposób, że odcinek AB jest prostopadły do osi paraboli i ma punkt wspólny z odcinkiem PC. Który z tych trójkątów ma największe pole?

3. Wyznaczyć stożek o największej objętości spośród stożków o danej tworzącej długości l. \(\displaystyle{ l\in R^+}\)
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2007, o 17:12 przez mat1989, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

zastosowanie pochodnych

Post autor: Calasilyar » 11 wrz 2007, o 17:11

1)
chyba raczej: \(\displaystyle{ \Delta0}\)

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

zastosowanie pochodnych

Post autor: mat1989 » 11 wrz 2007, o 17:13

of course jakby ktoś miał pomysł na 2 to bardzo proszę o pomoc. Bo z 3 jeszcze się postaram sam powalczyć.

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

zastosowanie pochodnych

Post autor: Calasilyar » 11 wrz 2007, o 17:19

3)
dane: l
\(\displaystyle{ R^{2}+h^{2}=l^{2}\\
V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\\
V(h)=\frac{\pi}{3}(l^{2}-h^{2})h\\
V'(h)=\frac{\pi}{3}(l^{2}-3h^{2})=0\\
h=\frac{\sqrt{3}}{3}l\\
V''(h)=\frac{\pi}{3}(-6h)=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi l

[ Dodano: 11 Września 2007, 17:29 ]
2)
osią paraboli \(\displaystyle{ y^{2}=x}\) jest prosta y=0, czyli \(\displaystyle{ y_{B}=-y_{A}}\), a także \(\displaystyle{ x_{A}=x_{B}}\). Ustalmy, bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ y_{A}\geqslant 0}\).

wysokość trójkąta to: \(\displaystyle{ h=x_{C}-x_{A}=9-y_{A}^{2}}\)
podstawa: \(\displaystyle{ a=|AB|=2y_{A}}\)
pole:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}2y_{A}(9-y_{A}^{2})\\
P(y_{A})=y_{A}(9-y_{A}^{2})}\)


i tutaj to już dasz radę }\)

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

zastosowanie pochodnych

Post autor: mat1989 » 11 wrz 2007, o 21:43

a co pierwszego jeszcze pytanie
może być \(\displaystyle{ \Delta\leq 0}\)?

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

zastosowanie pochodnych

Post autor: setch » 11 wrz 2007, o 22:25

Tak.

ODPOWIEDZ