Matematyka.pl

Czy istnieje taka liczba nienaturalna \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ 2^{x}, 3^{x}}\) są naturalne?

Np. \(\displaystyle{ x=0}\).

Jeżeli uczą cię, że \(\displaystyle{ 0}\) jest naturalne, wówczas proszę o doprecyzowanie: Czy pytanie brzmi; czy istnieje taka liczba \(\displaystyle{ x}\), że jednocześnie \(\displaystyle{ 2^x \in \mathbb N \wedge 3^x \in \mathbb N}\)?
Jeśli uczą cię, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest naturalne, wówczas \(\displaystyle{ 0}\) jest przykładem.

To czy zero jest czy nie jest liczbą naturalną, jest kwestią umowy. Dlatego uśmieszek.

Tak więc mamy pytanie: czy istnieje liczba \(\displaystyle{ x>0}\) taka, że \(\displaystyle{ x\not\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ 2^x\in\NN\,\wedge 3^x\in\NN}\)?

Tak mniemam, nie jestem autorem wątku.

Chyba "zadanie" jest mocno naciągnięte żeby nie powiedzieć przeciągnięte...

Moja pierwsza myśl jest taka, aby rozpatrzeć liczby postaci \(\displaystyle{ log_{2} a}\), \(\displaystyle{ log_{3} b}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \mathbb{N}-\{0\}, b \in \mathbb{N}-\{0\}}\), ewentualnie podobne, też z logarytmami (takie liczby niekoniecznie są naturalne). Popróbowałem trochę pokombinować z zamianą podstaw logarytmu, ale nic sensownego nie wychodziło. Nie wiem jak dalej można kombinować w tym kierunku, ale uznałem, że napiszę o tym pomyśle, to może ktoś mądrzejszy ode mnie na coś wpadnie

szw1710 pisze:Np. \(\displaystyle{ x=0}\).

do tego dodam \(\displaystyle{ 2 k \pi i}\)

Na przykład: \(\displaystyle{ x = log_{6}2}\)

Rozbitek pisze:Na przykład: \(\displaystyle{ x = log_{6}2}\)

Ta znajduje się w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), zatem \(\displaystyle{ 2^x}\) będzie się znajdował w przedziale \(\displaystyle{ (1,2)}\).

Ten "nudny i łatwy" problem jest prawdopodobnie problemem otwartym:

Założyłem, że jeżeli działa na 6, to będzie działało na 2 i 3, ale niestety.