Wyznaczyć ekstrema lokalne

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
jeremi18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 lip 2007, o 11:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puławy
Podziękował: 4 razy

Wyznaczyć ekstrema lokalne

Post autor: jeremi18 » 11 wrz 2007, o 13:53

\(\displaystyle{ g(x,y)=x^{2}+y^{3}-6xy+18x-39y+1}\)
Czemu tylko fragment wzoru został zapisany w LaTeX-u?
A zadanie bardziej pasuje do Rachunku różniczkowego niż do Granicy funkcji...
max
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2007, o 14:26 przez jeremi18, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wyznaczyć ekstrema lokalne

Post autor: scyth » 11 wrz 2007, o 14:12

Pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial g}{\partial x} = 2x-6y+18 \\
\frac{\partial g}{\partial y} = 3y^2-6x-39}\)

Szukamy ich miejsc zerowych (warunek konieczny):
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x-6y+18=0 \\
3y^2-6x-39 = 0
\end{cases} \\
\begin{cases}
x=3y-9 \\
y^2-2x-13 = 0
\end{cases} \\
(x=-6 y=1) (x=6 y=5)}\)

Liczymy drugi pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 6y \\
\frac{\partial^2 g}{\partial x y} = -6 \\}\)

Mamy hesjan:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}
2 & -6 \\
-6 & 6y
\end{array}\right|
= 12y-36}\)

Zatem funkcja g przyjmuje w \(\displaystyle{ (-6,1)}\) maksimum (hesjan ujemny) a w \(\displaystyle{ (6,5)}\) minimum.

ODPOWIEDZ