[Nierówności] SA>SL>SG

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7092
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2625 razy
Pomógł: 687 razy

[Nierówności] SA>SL>SG

Post autor: mol_ksiazkowy » 11 wrz 2007, o 12:16

\(\displaystyle{ \sqrt{ab} < \frac{a-b}{ln(a)-ln(b)} 0}\)
\(\displaystyle{ a b}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Nierówności] SA>SL>SG

Post autor: max » 11 wrz 2007, o 14:14

Co do dowodu, to możemy bez straty ogólności przyjąć, że \(\displaystyle{ a > b}\), dalej dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ b}\) i podkładając \(\displaystyle{ x = \frac{a}{b} - 1}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{1 + x} < \frac{x}{\ln (1 + x)} < \frac{x + 2}{2}\\
(*)\quad \frac{2x}{x + 2} < \ln (1 + x) < \frac{x}{\sqrt{1 + x}}}\)

(przy czym \(\displaystyle{ x > 0}\))
Teraz biorąc:
\(\displaystyle{ f(x) = \ln (1 + x) - \frac{2x}{x + 2}\\
g(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x}} - \ln (1 + x)}\)

otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{2}{(x + 2)^{2}} = \frac{x^{2} + 2x + 2}{(1 + x)(x + 2)^{2}} > 0\\
g'(x) = \frac{2 + x}{2(1 + x)^{3/2}} - \frac{1}{1 + x} = \frac{2 + x - 2\sqrt{1 + x}}{2(1 + x)^{3/2}} =\\
= \frac{x^{2}}{2(2 + x + 2\sqrt{1 + x})(1 + x)^{3/2}} > 0}\)

a ponieważ \(\displaystyle{ f(0) = 0 = g(0)}\), to nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ x > 0}\), czyli przy podanych warunkach zachodzi również nierówność wyjściowa.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7092
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2625 razy
Pomógł: 687 razy

[Nierówności] SA>SL>SG

Post autor: mol_ksiazkowy » 11 wrz 2007, o 18:38

okey, fine ...no ja tez liczyłem podobnie, a tylko z ta róanica ze podstawiłem, zeby sie pozbyc logarytmów, dalej uzyskałem nierówność , ...poprzenosiłem na jedna strone i zajałem sie licznikiem, etc . Także dla chetnych ...zrobic tym sposobem "skrajne lewe "szacowanie polecam (**), -jest ciekawe,i inne metody - zwłaszcza takie gdzie nie bedzie ..pochodnych,i uwagi mile widziane, i pozadane :arrow:


\(\displaystyle{ a:=e^a, b:=e^b}\)
tj.

\(\displaystyle{ \frac{e^a-e^b}{a-b} \leq \frac{e^a+e^b}{2}}\)
tj.
\(\displaystyle{ \frac{e^a+e^b}{2} - \frac{e^a-e^b}{a-b} =\\
\frac{e^a(a-b-2)+e^b(a-b+2)}{2(a-b)}=\\ \frac{h_b(a)}{2(a-b)} \geq 0}\)

niech a>b,

\(\displaystyle{ h_b : 0
\(\displaystyle{ h_b(b)=0}\)


(**)\(\displaystyle{ \sqrt{e^{a+b}} q \frac{e^a-e^b}{a-b}}\)
}\)

ODPOWIEDZ