Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Skynet » 11 wrz 2007, o 11:23

Wyznaczyć ekstrema funkcji dwóch zmiennych jeśli istnieją
\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) = \frac{x}{2y} + \frac{2y}{x}, x > 0, y > 0}\)

Jak liczę to wychodzi mi że ekstrema nie istnieją. Nie jestem tego pewien dlatego też prosze o pomoc.
Punkty stacjonarne otrzymuje w postaci \(\displaystyle{ P \left( x, \frac12 x \right)}\) i \(\displaystyle{ Q \left( x, -\frac12 x \right)}\). Wyznacznik wrońskianu wynosi mi w obu przypadkach 0 a funkcja ma chyba cały czas stały znak i w związku z tym nie ma ekstremów.
Ostatnio zmieniony 15 maja 2018, o 01:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Emiel Regis » 11 wrz 2007, o 11:38

Tak bez liczenia spytam jeszcze, co Ty rozumiesz pod pojęciem wrońskianu? Tam sie układa macierz Hessego..

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Skynet » 11 wrz 2007, o 11:44

Aj no może złe pojęcie zastosowałem. Chodzi mi o wyznacznik pochodnych drugiego stopnia.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Post autor: scyth » 11 wrz 2007, o 12:04

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2y}-\frac{2y}{x^2} \\
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{x}-\frac{x}{2y^2}}\)

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie się pochodnych cząstkowych, czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\frac{1}{2y}=\frac{2y}{x^2} \\
\frac{2}{x}=\frac{x}{2y^2}
\end{cases} \\
\Rightarrow x^2=4y^2 \Rightarrow x=2y}\)

Teraz liczymy drugie pochodne (do Hesjanu):
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{4y}{x^3} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{x}{y^3} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} =-\frac{1}{2y^2}-\frac{2}{x^2}}\)

Liczymy wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}
\frac{1}{2y^2} & -\frac{1}{y^2} \\
-\frac{1}{y^2} & \frac{2}{y^2}
\end{array}\right|
= \frac{1}{y^4}-\frac{1}{y^4}=0}\)

No i nie wiadomo co się tam dzieje. Ale się spisałem więc nie zmażę ;).
Zatem zbadajmy przebieg funkcji w otoczeniu \(\displaystyle{ x=2y}\).
Niech \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\).
\(\displaystyle{ f(2y,y)=2 \\
f(2y+\epsilon,y)=\frac{2y+\epsilon}{2y}+\frac{2y}{2y+\epsilon}=2+\frac{\epsilon}{2y}-\frac{\epsilon}{2y+\epsilon} > 2 \\
f(2y-\epsilon,y)=\frac{2y-\epsilon}{2y}+\frac{2y}{2y-\epsilon}=2-\frac{\epsilon}{2y}+\frac{\epsilon}{2y-\epsilon} > 2}\)

Zatem na prostej \(\displaystyle{ x=2y}\) funkcja osiąga minimum.

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Skynet » 11 wrz 2007, o 12:28

Wielkie dzięki. Brakowało mi tej końcówki nie wiedziałem jak zbadać w tym przypadku przebieg funkcji. BIG THX

ODPOWIEDZ